2. 考研
  3. 设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f（a）= g（a），f（b）=g（b），证明：存在ξ∈（a，b），使得f"（ξ）=g"（ξ）。

设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f（a）= g（a），f（b）=g（b），证明：存在ξ∈（a，b），使得f"（ξ）=g"（ξ）。

admin2017-12-29  61
问题 设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f（a）= g（a），f（b）=g（b），证明：存在ξ∈（a，b），使得f"（ξ）=g"（ξ）。
选项
答案构造辅助函数F（x）=f（x）—g（x），由题设有F（a）=F（b）=0。又f（x），g（x）在（a，b）内具有相等的最大值，不妨设存在x1≤x2，x1，x2∈（a，b）使得 [*] 若x1=x2，令c=x1，则F（c）=0。 若x1＜x2，因F（x1）=f（x1）— g（x1）≥0，F（x2）=f（x2）— g（x2）≤0，从而存在c∈[x1，x2][*]（a，b），使F（c）=0。 在区间[a，c]，[c，b]上分别应用罗尔定理知，存在ξ1∈（a，c），ξ2∈（c，b），使得 F’（ξ1）=F’（ξ2）=0。 再对F’（x）在区间[ξ1，ξ2]上应用罗尔定理知，存在ξ∈（ξ1，ξ2）[*]（a，b），有F"（ξ）=0，即 f"（ξ）=g"（ξ）。
解析
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考研数学三

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