2. 考研
  3. 设有n元实二次型 f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2， 其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，该二次型为正定二次型．

设有n元实二次型 f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2， 其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，该二次型为正定二次型．

admin2021-01-15  9
问题 设有n元实二次型
f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，
其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，该二次型为正定二次型．
选项
答案根据定义，二次型f(X)=(x1，x2，…，xn)正定是指对任何X≠0，恒有f(X)=XTAX＞0．由其逆否命题知，此条件等价于f(X)=XTAX≤0时，X=0．由题设知f(X)＜0不可能，故等价于f(X)=XTAX=0时有X=0，亦即等价于方程组 [*] 只有零解．当上述方程组只有零解时，就必有当X≠0时，x1+a1x2，x2+a2x3，…恒不全为零，从而恒有XTAX＞0，则f=XTAX是正定二次型．而上述方程组只有零解的充要条件是其系数行列式 [*]=一1+(一1)n-1a1a2…an≠0 于是当1+(一1)n-1a1a2…an≠0时，上述方程组只有零解．因而当1+(一1)n-1a1a2…an≠0时，对任意不全为零的x1，x2，…，xn都有f(X)＞0．由正定定义知，f(X)为正定二次型．
解析
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考研数学一

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