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设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值,X1,Xn分别为对应于λ1、λn的特征向量,记 f(X)=XTAX/XTX,X∈Rn,X≠0 二次型f(X)=XTAX在XTX=1条件下的最大(小)值等于实对称矩阵A的最大(小)特征值. 求三元函数f(x
设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值,X1,Xn分别为对应于λ1、λn的特征向量,记 f(X)=XTAX/XTX,X∈Rn,X≠0 二次型f(X)=XTAX在XTX=1条件下的最大(小)值等于实对称矩阵A的最大(小)特征值. 求三元函数f(x
admin
2019-01-05
94
问题
设λ
1
、λ
n
分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值,X
1
,X
n
分别为对应于λ
1
、λ
n
的特征向量,记
f(X)=X
T
AX/X
T
X,X∈R
n
,X≠0
二次型f(X)=X
T
AX在X
T
X=1条件下的最大(小)值等于实对称矩阵A的最大(小)特征值.
求三元函数f(x
1
,x
2
,x
3
)=3x
1
2
+2x
2
2
+3x
3
2
+2x
1
x
3
在x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
=1条件下的最大及最小值,并求最大值点及最小值点.
选项
答案
[*] =(λ-2)
2
(λ-4)=0,[*]λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=4.对于λ
1
=λ
2
=2,由2E-A [*] 得对应的特征向量为(0,1,0)
T
,(1,0,-1)
T
,单位特征向量为(0,1,0)
T
,[*](1,0,-1)
T
;对于λ
3
=4,由4E-A [*] 得对应的特征向量(1,0,1)
T
,单位特征向量为[*](1,0,1)
T
.知minf=f([*])=f(0,1,0)=2,maxf=f([*])=4.
解析
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考研数学三
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