2. 考研
  3. 设f(x)在(x0一δ，x0+δ)有n阶连续导数，且f(k)(x0)=0，k=2，3，…，n一1；f(n)(x0)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(x0+h)一f(x0)=hf’(x0+θh)，(0＜θ＜1)．求证：．

设f(x)在(x0一δ，x0+δ)有n阶连续导数，且f(k)(x0)=0，k=2，3，…，n一1；f(n)(x0)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(x0+h)一f(x0)=hf’(x0+θh)，(0＜θ＜1)．求证：．

admin2021-11-15  22
问题 设f(x)在(x0一δ，x0+δ)有n阶连续导数，且f(k)(x0)=0，k=2，3，…，n一1；f(n)(x0)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(x0+h)一f(x0)=hf’(x0+θh)，(0＜θ＜1)．求证：．
选项
答案这里m=1，求的是f(x0+h)一f(x0)=hf’(x0+θh)(0＜θ＜1)当h→0时中值θ的极限．为解出θ，按题中条件，将f’(x0+θh)在x=x0展成带皮亚诺余项的n一1阶泰勒公式得 f’(x0+θh)=f’(x0)+f"(x0)θh+[*](3)(x0)(θh)2+… +[*]f(n)(x0)(θh)n—1+o(hn—1) =f’(x0)+[*]f(n)(x0)(θh)n—1+o(hn—1)(h→0)， 代入原式得 f(x0+h)一f(x0)=hf’(x0)+[*]fn—1(x0)θn—1hn+o(hn) ① 再将f(x0+h)在x=x0展成带皮亚诺余项的n阶泰勒公式 f(x0+h)一f(x0)=f’(x0)¨…+[*]f(n)(x0)hn+o(hn) =f’(x0)h+[*]f(n)(x0)hn+o(hn)(h→0)， ② 将②代入①后两沩除以hn得 [*]
解析
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考研数学一

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