设A是n阶正定矩阵，x是n维列向量，E是n阶单位阵，记写出二次型f=｜W｜的矩阵表达式，并讨论f的正定性．

admin2014-04-23 51

问题设A是n阶正定矩阵，x是n维列向量，E是n阶单位阵，记

写出二次型f=｜W｜的矩阵表达式，并讨论f的正定性．

选项

答案因[*]故f的矩阵表达式为： [*] =(一1)ⁿ｜A｜x^TA^-1x=(一1)ⁿx^T｜A｜A^-1x=(一1)ⁿx^TA^*x．由A是正定矩阵知，｜A｜＞0，且A的特征值λ_i＞0(i=1，2，…，n)．A^*的特征值为[*]故A^*也是正定矩阵，故当n=2k时，f=(一1)^2kx^TA^*x=x^TA^*x是正定二次型；当n=2k+1时，f=(一1)^2k+1x^TA^*x=一x^TA^*x是负定二次型．

解析

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