已知齐次线性方程组= 有非零解，且矩阵A=是正定矩阵．(1)求a的值；(2)求当XTX=2时，XTAX的最大值，其中 X=(x1，x2，x3)T∈R3．

admin2016-04-11 56

问题已知齐次线性方程组=

有非零解，且矩阵A=

是正定矩阵．(1)求a的值；(2)求当X^TX=2时，X^TAX的最大值，其中
X=(x₁，x₂，x₃)^T∈R³．

选项

答案(1)由方程组的系数行列式△=a(a+1)(a一3)=0，→a的取值范围为：0，一1，3，再由矩阵A正定，得a=3；(2)可求得A的最大特征值为10，设对应的单位特征向量为ξ(即Aξ=10ξ，且ξ^Tξ=1)．对二次型X^TAX，存在正交变换X=PY，使X^TAX[*]λ₁y₁²+₂y₂²+₃3y₃²≤10(y₁²+y₂²+y₃²)，当X^TX=Y^TY=y₁²+y₂²+y₃²=2时，有X^TAX≤10×2=20，又X^T=[*]=2ξ^T(Aξ)=2ξ^T(10ξ)=20(ξ^Tξ)=20，综上可知 [*]=20．

解析

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考研数学一

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