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已知齐次线性方程组= 有非零解,且矩阵A=是正定矩阵.(1)求a的值;(2)求当XTX=2时,XTAX的最大值,其中 X=(x1,x2,x3)T∈R3.
已知齐次线性方程组= 有非零解,且矩阵A=是正定矩阵.(1)求a的值;(2)求当XTX=2时,XTAX的最大值,其中 X=(x1,x2,x3)T∈R3.
admin
2016-04-11
66
问题
已知齐次线性方程组=
有非零解,且矩阵A=
是正定矩阵.(1)求a的值;(2)求当X
T
X=2时,X
T
AX的最大值,其中
X=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
∈R
3
.
选项
答案
(1)由方程组的系数行列式△=a(a+1)(a一3)=0,→a的取值范围为:0,一1,3,再由矩阵A正定,得a=3;(2)可求得A的最大特征值为10,设对应的单位特征向量为ξ(即Aξ=10ξ,且ξ
T
ξ=1).对二次型X
T
AX,存在正交变换X=PY,使X
T
AX[*]λ
1
y
1
2
+
2
y
2
2
+
3
3y
3
2
≤10(y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
),当X
T
X=Y
T
Y=y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
=2时,有X
T
AX≤10×2=20,又X
T
=[*]=2ξ
T
(Aξ)=2ξ
T
(10ξ)=20(ξ
T
ξ)=20,综上可知 [*]=20.
解析
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考研数学一
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