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  3. 已知齐次线性方程组= 有非零解，且矩阵A=是正定矩阵．(1)求a的值；(2)求当XTX=2时，XTAX的最大值，其中 X=(x1，x2，x3)T∈R3．

已知齐次线性方程组= 有非零解，且矩阵A=是正定矩阵．(1)求a的值；(2)求当XTX=2时，XTAX的最大值，其中 X=(x1，x2，x3)T∈R3．

admin2016-04-11  54
问题 已知齐次线性方程组=
有非零解，且矩阵A=是正定矩阵．(1)求a的值；(2)求当XTX=2时，XTAX的最大值，其中
X=(x1，x2，x3)T∈R3．
选项
答案(1)由方程组的系数行列式△=a(a+1)(a一3)=0，→a的取值范围为：0，一1，3，再由矩阵A正定，得a=3；(2)可求得A的最大特征值为10，设对应的单位特征向量为ξ(即Aξ=10ξ，且ξTξ=1)．对二次型XTAX，存在正交变换X=PY，使XTAX[*]λ1y12+2y22+33y32≤10(y12+y22+y32)，当XTX=YTY=y12+y22+y32=2时，有XTAX≤10×2=20，又XT=[*]=2ξT(Aξ)=2ξT(10ξ)=20(ξTξ)=20，综上可知 [*]=20．
解析
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考研数学一

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