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证明方程有两个实根,并判定这两个根的范围。
证明方程有两个实根,并判定这两个根的范围。
admin
2021-07-15
36
问题
证明方程
有两个实根,并判定这两个根的范围。
选项
答案
证明方程根的存在性,可以转化为函数的零点问题,先将方程两端同乘(x-1)·(x-2)(x-3)可得 (x-2)(x-3)+2(x-1)(x-3)+3(x-1)(x-2)=0 令F(x)=(x-2)(x-3)+2(x-1)(x-3)+3(x-1)(x-2),则F(x)在(-∞,+∞)内连续,取闭区间[a,b]=[1,2],则 F(1)>0,F(2)<0 由闭区间上连续函数的零点定理可知,在(1,2)内至少存在一点x
1
,使得F(x
1
)=0. 再取[a,b]=[2,3]则 F(2)<0,F(3)>0 同理可知,在(2,3)内至少存在一点x
2
,使得F(x
2
)=0 易见x
1
≠x
2
,由于F(x)=0为一元二次方程,根据代数知识可知,一元二次方程至多有两个实根,因此x
1
,x
2
就是原方程的两个不同实根,且分别位于(1,2)与(2,3)内。
解析
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