2. 考研
  3. 设A=E+ααT，其中α=(a1，a2，α3)T，且αTα=2，求A的特征值和特征向量．

设A=E+ααT，其中α=(a1，a2，α3)T，且αTα=2，求A的特征值和特征向量．

admin2021-02-25  28
问题 设A=E+ααT，其中α=(a1，a2，α3)T，且αTα=2，求A的特征值和特征向量．
选项
答案由Aα=(E+ααT)α=α+ααTα=3α，于是得A的特征值λ1=3，其对应的特征向量为k1α，k1≠0为常数． 又由A=E+ααT，得A-E=ααT，两边取行列式｜A-E｜=｜ααT｜=0，由此知λ2=1是A的另一个特征值． 再由矩阵A的特征值的性质，trA=λ1+λ2+λ3=4+λ3，从而λ3=trA-4=3+αTα-4=1． 由于λ2=λ3=1，对应的特征矩阵为A-E，由题设条件α=(a1，a2，a3)T≠0，不妨设a1≠0，则 [*] 由此得方程组(A-E)x=0的同解方程组为 a1x1=-a2x2-a3x3， 解得λ2=λ3=1对应的特征向量为x=k2(-a2，a1，0)T+k3(-a3，0，a1)T，其中k2，k3是不同时为零的任意常数．
解析 本题考查抽象矩阵求特征值与特征向量的方法．可用定义Ax=λx，特征方程｜λE-A｜=0，trA=λ1+λ2+λ3，求A的特征值与特征向量．
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考研数学二

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