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确定常数a,使向量组α1=(1,1,a)T,α2=(1,a,1)T,α3=(a,1,1)T可由向量组β1=(1,1,a)T,β2=(一2,a,4)T,β3=(一2,a,a)T线性表示,但向量组β1,β2,β3不能由向量组α1,α2,α3线性表示.
确定常数a,使向量组α1=(1,1,a)T,α2=(1,a,1)T,α3=(a,1,1)T可由向量组β1=(1,1,a)T,β2=(一2,a,4)T,β3=(一2,a,a)T线性表示,但向量组β1,β2,β3不能由向量组α1,α2,α3线性表示.
admin
2019-08-01
56
问题
确定常数a,使向量组α
1
=(1,1,a)
T
,α
2
=(1,a,1)
T
,α
3
=(a,1,1)
T
可由向量组β
1
=(1,1,a)
T
,β
2
=(一2,a,4)
T
,β
3
=(一2,a,a)
T
线性表示,但向量组β
1
,β
2
,β
3
不能由向量组α
1
,α
2
,α
3
线性表示.
选项
答案
记A=(α
1
,α
2
,α
3
),B=(β
1
,β
2
,β
3
),由于β
1
,β
2
,β
3
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,故秩r(A)<3,从而|A|=一 (a一1)
2
(a+2)=0,所以a=1或a=一2. 当a=1时,α
1
=α
2
=α
3
=β
1
=(1,1,1)
T
,故α
1
,α
2
,α
3
可由β
1
,β
2
,β
3
线性表示,但β
2
=(一2,1,4)
T
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,所以a=1符合题意. 当a=一2时,由下列矩阵的初等行变换 [*] 知秩r(B)=2,秩r(B|α
2
)=3,所以方程组Bx=α
2
无解,即α
2
不能由β
1
,β
2
,β
3
线性表示,故a=一2不符合题意,因此a=1. 记A= (α
1
,α
2
,α
3
),B= (β
1
,β
2
,β
3
),对矩阵(A|B)施行初等行变换: [*] 由于β
1
,β
2
,β
3
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,故r(A)<3,因此a=1或a=一2. 当a=1时,由下列矩阵的初等行变换 [*] 知秩r(A)=1,秩r(A|β
2
)=2,故方程组Ax=β
2
无解,所以β
2
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示.另一方面,由于|B|=一9≠0,故Bx=α
i
(i=1,2,3)有惟一解,即α
1
,α
2
,α
3
可由β
1
,β
2
,β
3
线性表示,所以a=1符合题意. 当a=一2时,由下列矩阵的初等行变换 [*] 可知秩r(B)=2,秩r(B|α
2
)=3,故方程组Bx=α
2
无解,即α
2
不能由β
1
,β
2
,β
3
线性表示,故a=一2不符合题意,因此a=1. 记矩阵A=(α
1
,α
2
,α
3
),B=(β
1
,β
2
,β
3
).由于|B|=(a+2)(a一4),故当a≠一2且a≠4时,方程组Bx=a
j
(j=1,2,3)有解,即向量组α
1
,α
2
,α
3
可由向量组β
1
,β
2
,β
3
线性表示,当a=一2时,由初等行变换 [*] 知r(B)=2,而r(B |α
2
)一3,故方程组Bx=α
2
无解,即α
2
不能由β
1
,β
2
,β
3
线性表示,故a=一2不符合题意. 同理可知a=4不符合题意. 由题意知方程组Ax=β
j
(j=1,2,3)不全有解,故必有|A|=一(a一1)
2
(a+2)=0,所以a=1或a=一2,前已说明a=一2不符合题意,所以,只有a=1可能符合题意. 当a=1时,由初等行变换 [*] 知r(A)=1,而r(A|β
2
)=2,故方程组Ax=β
2
无解,即β
2
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示.综上所述,可知只有a=1符合题意.
解析
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考研数学二
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