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  3. 设矩阵，其行列式｜A｜＝－1，又A的伴随矩阵A*有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为α＝(－1，－1，1)，求a，b，c和λ0的值．

设矩阵，其行列式｜A｜＝－1，又A的伴随矩阵A*有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为α＝(－1，－1，1)，求a，b，c和λ0的值．

admin2021-01-19  37
问题 设矩阵，其行列式｜A｜＝－1，又A的伴随矩阵A*有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为α＝(－1，－1，1)，求a，b，c和λ0的值．
选项
答案根据题设有 A*α＝λ0α， 又A4*＝｜A｜E＝－E，于是 AA*α＝Aλ0α＝λ0Aα， 即 －α＝λ0Aα， 也即[*] 由此可得[*] 解此方程组，得 λ0＝1，b＝－3，a＝c。 又由｜A｜＝－1和a＝c，有 [*]＝a－3＝－1． 故a＝c＝2．因此 a＝2，b＝－3，c＝2，λ0＝1．
解析 [分析]  根据题设，有A*α＝λ0α，可得三个方程，再加上｜A｜＝－1，共四个方程、四个未知量，应该可以求出四个参数．但是A。的计算相当复杂，而题设已知的是A，这可通过关系式A*A＝AA*＝｜A｜E，在等式A*α＝λ0α两端同乘以A后得到简化．
    [评注]  涉及与伴随矩阵A有关的计算或证明问题，一般都是通过关系式AA*＝A*A＝｜A｜E进行分析和讨论，这一点应引起注意．
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考研数学二

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