2. 考研
  3. 设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η1，…，ηn-r+1是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1，其中k1+…+kn-r+1=1。

设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η1，…，ηn-r+1是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1，其中k1+…+kn-r+1=1。

admin2018-04-18  78
问题 设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η1，…，ηn-r+1是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1，其中k1+…+kn-r+1=1。
选项
答案设X为Ax=b的任一解，由题设知η1，η2，…，ηn-r+1线性无关且均为Ax=b的解。 取ξ1=η2一η1，ξ2=η3一η1，η1,…,ξn-r=ηn-r+1一η1，根据线性方程组解的结构，它们均为对应齐次方程Ax=0的解。 下面用反证法证： 设ξ1，ξ2，…，ξn-r线性相关，则存在不全为零的数l1，l2，…，ln-r使得 l1ξ1+l2ξ2+…+ln-rξn-r=0， 即 l1(η2—η1)+l2(η3一η1)+…+ln-r(ηn-r+1一η1)=0，也即 一(l1+l2+…+ln-r)η1+l1η2+l2η3+…+ln-rηn-r+1=0。 由η1，η2，…，ηn-r+1线性无关知一(l1+l2+…+ln-r)=l1=l2=…=ln-r=0， 这与l1，l2，…，ln-r不全为零矛盾，故假设不成立。因此ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，是Ax=0的基础解系。 由于x，η1均为Ax=b的解，所以X一η1为Ax=0的解，因此x一η1可由ξ1，ξ2，…，ξn-r线性表示，设 x一η1=k2ξ1+k3ξ2+…+kn-r+1ξn-r =k2(η2一η1)+k3(η3一η1)+…+kn-r+1(ηn-r+1一η1)， 则x=η1(1一k2一k3一…一kn-r+1)+k2η2+k3η3+…+kn-r+1ηn-r+1， 令k1=1一k2一k3…一kn-r+1，则k1+k2+k3+…+kn-r+1=1，从而 x=k1η1+k2η2+…+kn-r+1ηn-r+1恒成立。
解析
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