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设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,且证明: 存在ξ1,ξ2∈(0,3),使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0.
设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,且证明: 存在ξ1,ξ2∈(0,3),使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0.
admin
2018-04-15
37
问题
设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,且
证明:
存在ξ
1
,ξ
2
∈(0,3),使得f’(ξ
1
)=f’(ξ
2
)=0.
选项
答案
令[*]F′(x)=f(x), [*]其中0<c<2. 因为f(x)在[2,3]上连续,所以f(x)在[2,3]上取到最小值m和最大值M, [*] 由介值定理,存在x
0
∈[2,3],使得[*]即f(2)+f(3)=2f(x
0
), 于是f(0)=f(c)=f(x
0
), 由罗尔定理,存在ξ
1
∈(0,c)[*](0,3),ξ
2
∈(c,x
0
)[*](0,3),使得f′(ξ
1
)=f′(ξ
2
)=0.
解析
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考研数学三
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