(2001年)设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为__________。

admin2019-05-22 34

问题 (2001年)设y=e^x(C₁sinx+C₂cosx)(C₁，C₂为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为__________。

选项

答案y"一2y′+2y=0

解析因为二阶常系数线性齐次微分方程y"+py′+qy=0的通解为y=e^αx(C₁sinβx+C₂cosβx)时，则特征方程r²+pr+q=0对应的两个根为一对共轭复根：λ_1,2=α±βi，所以根据题设y=e^x(C₁sinx+C₂cosx)(C₁，C₂为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，知：α=1，β=1，特征根为λ_1,2=一1±i，从而对应的特征方程为
[λ一(1+i)][λ一(1一i)]=λ²一2λ+2=0，
于是所求二阶常系数线性齐次微分方程为y"一2y′+2y=0。

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