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(1998年试题，三)求直线在平面π：x一y+2z—1=0上的投影直线l0的方程，并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程．

admin2019-03-07  23
问题 (1998年试题，三)求直线在平面π：x一y+2z—1=0上的投影直线l0的方程，并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程．
选项
答案由题设，本题分两个大部分，一是求l在π的投影l0，二是求由l0生成的旋转曲面，其中第一部分是第二部分的基础．因为投影直线l0是经过直线l且与平面π垂直的平面与平面π的交线，因此只需求得此平面即可，设其为π1，下面先求平面π1的法向量n1，同时设平面π的法向量为n，由已知n={1，一1，2}，由于，n1⊥n，且n1垂直直线l的方向向量{1，1，一1}，因此n1={1，一1，2}×{1，1，一1}={一1，3，2}又因为直线f在平面π1内，因而直线l上的点(1，0，1)也是平面π1内的点，综上可得出平面π1的方程为一(x—1)+3(y一0)+2(z—1)=0化简得x一3y一2x+l=0．由此，直线l在平面π上的投影直线l0的方程为[*]以下再求l0绕y轴旋转所生成的旋转曲面S．设点A(x，y，z)在S上．过A作平面2平行于Oxz平面，即垂直于y轴，则霄π2与y轴交点为B(0，y，0)，并设π2与l2交点为C(x1，y，z1)，由L0的方程不难确定出x1=2y及[*]又由几何关系｜AB｜=｜CB｜，即距离相等，有x2+z2=x12+z12=4y2+[*](1一y)2化简为4x2一17y2+4z2+2y=1，由点A(x，y，z)的任意性，知上式就是所求旋转曲面S的方程．解析二本题第一部分求投影直线l0的方程的过程中，在求平面π1的方程时，也可采用平面束的方法，将直线l的方程化为一般形式：[*]则经过l的平面束方程为x一y一1+λ(y+z一1)=0，其法向量n1={1，λ—1，λ}．要求的π1的法向量与π的法向量垂直，即n1.n=0，从而可求出λ，于是就得到了平面π1的方程，以下其余步骤同解析一．
解析
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考研数学一

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