设A是m×n矩阵,r(A)=m<n,则下列命题中不正确的是

admin2020-03-24  24

问题 设A是m×n矩阵,r(A)=m<n,则下列命题中不正确的是

选项 A、A经初等行变换必可化为(Em,0).
B、∈Rm,方程组Ax=b必有无穷多解.
C、如m阶矩阵B满足BA=0,则B=0.
D、 行列式|ATA|=0.

答案A

解析 经初等变换可以把矩阵A化为标准形,但一般应当既有初等行变换也有初等列变换,只用一种不一定能把A化为标准形.例如,,只用初等行变换就不能化为标准形(E2,0)形式,(A)不正确.故应选(A).
    因为A是m×n矩阵,r(A)=m说明矩阵A的行向量组必线性无关,那么其延伸组必线性无关,所以=m<n.(B)正确.
由BA=0知r(B)+r(A)≤m,又r(A)=m,故r(B)=0,即B=0.(C)正确.
ATA是二阶矩阵,r(ATA)=r(A)=m<n,故|ATA|=0,即(D)正确.
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