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求幂级数的收敛域及和函数S(x).
求幂级数的收敛域及和函数S(x).
admin
2019-03-12
55
问题
求幂级数
的收敛域及和函数S(x).
选项
答案
[*] 所以当|x|<1时,即|x|<1时,所给幂级数收敛;当|x|>1时,所给幂级数发散; [*] 故所给幂级数的收敛域为[一1,1]. 在(一1,1)内, [*] 又S
1
’(0)=0,于是S
1
’(x)=arctanx. 同理 S
1
(x)一S
1
(0)=∫
0
x
S
1
’(t)dt=∫
0
x
arctantdt=[*] 又S
1
(0)=0,所以 [*] 故 S(x)=2x
2
arctanx—xln(1+x
2
),x∈(一1,1). 由于所给幂级数在x=±1处都收敛,且 S(x)=2x
2
arctanx—xln(1+x
2
) 在x=±1处都连续,所以S(x)在x=±1成立,即 S(x)=2x
2
arctanx—xln(1+x
2
),x∈[一1,1].
解析
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考研数学三
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