求幂级数的收敛域及和函数S(x)．

admin2019-03-12 93

问题求幂级数

的收敛域及和函数S(x)．

选项

答案 [*] 所以当|x|＜1时，即|x|＜1时，所给幂级数收敛；当|x|＞1时，所给幂级数发散； [*] 故所给幂级数的收敛域为[一1，1]．在(一1，1)内， [*] 又S₁’(0)=0，于是S₁’(x)=arctanx．同理 S₁(x)一S₁(0)=∫₀^xS₁’(t)dt=∫₀^xarctantdt=[*] 又S₁(0)=0，所以 [*] 故 S(x)=2x²arctanx—xln(1+x²)，x∈(一1，1)．由于所给幂级数在x=±1处都收敛，且 S(x)=2x²arctanx—xln(1+x²) 在x=±1处都连续，所以S(x)在x=±1成立，即 S(x)=2x²arctanx—xln(1+x²)，x∈[一1，1]．

解析

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