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  3. 证明：若随机变量X以概率1取常数c，则它与任何随机变量Y相互独立．

证明：若随机变量X以概率1取常数c，则它与任何随机变量Y相互独立．

admin2020-05-02  28
问题 证明：若随机变量X以概率1取常数c，则它与任何随机变量Y相互独立．
选项
答案对于任意的实数x，y，F(x，y)=P{X≤x，Y≤y}． [*] 又P(X≤x)=0，从而有 F(x，y)=P{X≤x，Y≤y}=0 FX(x)FY(y)=P{X≤x}P{Y≤y}=0 即 F(x，y)=FX(x)FY(y) 当x≥c时，{X=c}[*]{X≤x}，即P{X=c}≤P{X≤x}≤1，从而P{X≤x}=1， 也就是FX(x)=1． 又因为P{X≤x}=1，所以P{X＞x}=0，可得 P{X＞x，Y≤y}≤P{X＞x}=0 故 [*] 综上所述，对于任意的实数x，y，有F(x，y)=FX(x)FY(y)成立，故X与任何随机变量Y相互独立．
解析 注意二维连续型随机变量独立的充分必要条件是联和概率密度等于边缘概率密度的乘积．
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考研数学一

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