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设f(x)在区间[a,b]上可导,且满足求证:至少存在一点ξ∈(a,b)使得f(ξ)=-f’(ξ).
设f(x)在区间[a,b]上可导,且满足求证:至少存在一点ξ∈(a,b)使得f(ξ)=-f’(ξ).
admin
2019-02-20
51
问题
设f(x)在区间[a,b]上可导,且满足
求证:至少存在一点ξ∈(a,b)使得f(ξ)=-f’(ξ).
选项
答案
存在ξ∈(a,b)使得f(ξ)=-f’(ξ) [*] 现引进辅助函数F(x)=e
2
f(x),它在[a,b]可导,若能在[a,b]的某区间上用罗尔定理即可得证. 由已知条件及积分中值定理即知至少存在一点[*]使得 [*] 所以在区间[c,b]上有F(c)=F(b).由罗尔定理即知存在ξ∈(c,b),使得 Fξ)=e
ξ
[f(ξ)+f’(ξ)]=0, 又e
ξ
≠0,所以有f(ξ)=-f’(ξ).
解析
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考研数学三
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