一容器在开始时盛有盐水100升，其中含净盐10公斤．现以每分钟3升的速度注入清水，同时以每分钟2升的速度将冲淡的溶液放出，容器装有搅拌器使溶液中的盐水保持均匀，求过程开始一小时溶液的含盐量．

admin2018-06-12 49

问题一容器在开始时盛有盐水100升，其中含净盐10公斤．现以每分钟3升的速度注入清水，同时以每分钟2升的速度将冲淡的溶液放出，容器装有搅拌器使溶液中的盐水保持均匀，求过程开始一小时溶液的含盐量．

选项

答案设t时刻容器中含盐量为y(t)(公斤)，用微元法列方程．依据是：t到t＋△t时间内含盐量的变化量＝流入的含盐量－流出的含盐量．先求任意时刻t浓度的表达式．按题意，t时刻容器中溶液量为100＋3t－2t＝100＋t(升)，得t时刻容器中溶液的浓度为[*][t，t＋△t]时间内，容器中含盐量的改变量 y(t＋△y)－y(y)＝－2[*]△t， [*] 令△t→0得[*] 又初始条件y(0)＝10．这是可分离变量的方程(也是一阶线性齐次方程)，分离变量得 [*]lny＝－2ln(100＋t)＋C₁(y＞0，t≥0)，即 y＝[*] 由y(0)＝10[*]C＝10⁵ [*] 因此，过程开始一小时溶液的含盐量为[*](公斤)．

解析

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考研数学一

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一容器在开始时盛有盐水100升，其中含净盐10公斤．现以每分钟3升的速度注入清水，同时以每分钟2升的速度将冲淡的溶液放出，容器装有搅拌器使溶液中的盐水保持均匀，求过程开始一小时溶液的含盐量．

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