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(Ⅰ)设f(xy,)=y2(x2一1)(xy≠0),则df|(1,1)=_________; (Ⅱ)设二元函数z=xex+y+(x+1)In(1+y),则dz|(1,0)=_________.
(Ⅰ)设f(xy,)=y2(x2一1)(xy≠0),则df|(1,1)=_________; (Ⅱ)设二元函数z=xex+y+(x+1)In(1+y),则dz|(1,0)=_________.
admin
2020-03-18
57
问题
(Ⅰ)设f(xy,
)=y
2
(x
2
一1)(xy≠0),则df|
(1,1)
=_________;
(Ⅱ)设二元函数z=xe
x+y
+(x+1)In(1+y),则dz|
(1,0)
=_________.
选项
答案
(Ⅰ)dx—dy; (Ⅱ)2edx+(e+2)dy
解析
(Ⅰ)求解本题的关键是确定函数f(x,y)的解析式.令u=xy,v=
一1=u
2
一uv,即f(x,y)=x
2
一xy,求一阶全微分可得
df(x,y)=(2x—y)dx—xdy.
在上式中令x=1,y=1即得
df|
(1,1)
=dx—dy.
(Ⅱ)利用全微分的四则运算法则与一阶全微分形式不变性直接计算即得
dz=e
x+y
dx+xd(e
x+y
)+ln(1+y)d(x+1)+(x+1)d[ln(1+y)]
=e
x+y
dx+xe
x+y
d(x+y)+ln(1+y)dx+(x+1)
=e
x+y
dx+xe
x+y
(dx+dy)+ln(1+y)dx+
,
于是dz|
(1,0)
=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy.
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考研数学三
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