2. 考研
  3. 设f(χ)在[0，2]上连续，且f(0)＝0，f(1)＝1．证明： (1)存在c∈(0，1)，使得f(c)＝1－2c； (2)存在ξ∈[0，2]，使得2f(0)＋f(1)＋3f(2)＝6f(ξ)．

设f(χ)在[0，2]上连续，且f(0)＝0，f(1)＝1．证明： (1)存在c∈(0，1)，使得f(c)＝1－2c； (2)存在ξ∈[0，2]，使得2f(0)＋f(1)＋3f(2)＝6f(ξ)．

admin2019-06-28  4
问题 设f(χ)在[0，2]上连续，且f(0)＝0，f(1)＝1．证明：
    (1)存在c∈(0，1)，使得f(c)＝1－2c；
    (2)存在ξ∈[0，2]，使得2f(0)＋f(1)＋3f(2)＝6f(ξ)．
选项
答案(1)令φ(χ)＝f(χ)－1＋2χ，φ(0)＝－1，φ(1)＝2，因为φ(0)φ(1)＜0，所以存在c∈(0，1)，使得φ(c)＝0，于是f(c)＝1－2c． (2)因为f(χ)∈C[0，2]，所以f(χ)在[0，2]上取到最小值m和最大值M， 由6m≤2f(0)＋f(1)＋3f(2)≤6M得m≤[*]≤M， 由介值定理，存在ξ∈[0，2]，使得[*]＝f(ξ)， 于是2f(0)＋f(1)＋3f(2)＝6f(ξ)．
解析
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考研数学二

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