设α1,α2,…,αk(k<n)是Rn中k个线性无关的列向量.证明:存在n阶满秩方阵P,使得P以α1,α2,…,αk为其前k列.

admin2017-06-26  32

问题 设α1,α2,…,αk(k<n)是Rn中k个线性无关的列向量.证明:存在n阶满秩方阵P,使得P以α1,α2,…,αk为其前k列.

选项

答案取齐次线性方程组[*]=0的基础解系ξ1,…,ξn-k,则可证明α1,αk,ξ1…,ξn-k线性无关: 设λ1α1+…+λkαk+μ1ξ1+…+μn-kξn-k=0,两端左乘(λ1α1+…+λkαk)T,并利用αiTξj=0(i=1,…,k;j=1,…,n-k),得(λ1α1+…+λkαk)T1α1+…+λkαk)=0,即 ‖λ1α1+…+λkαk2=0,[*]λ1α1+…+λkαk=0,而α1,…,αk线性无关,[*]λ1=…=λk=0,[*]μ1ξ1+…+μn-kξn-k=0,又ξ1,…,ξn-k线性无关,则μ1=…=μn-k=0,于是证得 α1,…,αk,ξ1,…,ξn-k线性无关,令矩阵P=[α1,…αkξ1…ξn-k],则P为满秩方阵,且以α1,…,αk为其前k列.

解析
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