设α1，α2，…，αk(k＜n)是Rn中k个线性无关的列向量．证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前k列．

admin2017-06-26 34

问题设α₁，α₂，…，α_k(k＜n)是Rⁿ中k个线性无关的列向量．证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α₁，α₂，…，α_k为其前k列．

选项

答案取齐次线性方程组[*]＝0的基础解系ξ₁，…，ξ_n-k，则可证明α₁，α_k，ξ₁…，ξ_n-k线性无关：设λ₁α₁＋…＋λ_kα_k＋μ₁ξ₁＋…＋μ_n-kξ_n-k＝0，两端左乘(λ₁α₁＋…＋λ_kα_k)^T，并利用α_i^Tξ_j＝0(i＝1，…，k；j＝1，…，n－k)，得(λ₁α₁＋…＋λ_kα_k)^T(λ₁α₁＋…＋λ_kα_k)＝0，即 ‖λ₁α₁＋…＋λ_kα_k‖²＝0，[*]λ₁α₁＋…＋λ_kα_k＝0，而α₁，…，α_k线性无关，[*]λ₁＝…＝λ_k＝0，[*]μ₁ξ₁＋…＋μ_n-kξ_n-k＝0，又ξ₁，…，ξ_n-k线性无关，则μ₁＝…＝μ_n-k＝0，于是证得 α₁，…，α_k，ξ₁，…，ξ_n-k线性无关，令矩阵P＝[α₁，…α_kξ₁…ξ_n-k]，则P为满秩方阵，且以α₁，…，α_k为其前k列．

解析

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考研数学三

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设α1，α2，…，αk(k＜n)是Rn中k个线性无关的列向量．证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前k列．

考研数学三

已知齐次线性方程组其中，试讨论a1，a2…an和b满足何种关系时：(Ⅰ)方程组仅有零解；(Ⅱ)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．

设n维向量a=(a，0，…，0，a)T，a＞0，E为n阶单位矩阵，矩阵A=E-aaT，B=，其中A的逆矩阵为B，则a=_________．

设n阶矩阵A与B等价，则必有()．

设3阶对称矩阵A的特征向量值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，又a1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．(Ⅰ)验证a1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(Ⅱ)求矩阵B．

设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量a1=(-1，2，-1)T=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解；(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=L；(Ⅲ)求A及(A-(3/2)E)6，其中E为三阶

设线性方程组(Ⅰ)证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则此线性方程组无解；(Ⅱ)设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，且已知β1，β2是该方程组的两个解，其中β1=，写出此方程组的通解.

设A是n阶矩阵，下列不是命题“0是矩阵A的特征值”的充分必要条件的是()．

两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时，停用而另一台自动开动．试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差．

设A为n阶实矩阵，AT为A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)AX=0和(Ⅱ)ATAX=0必有()．

Whattypeofmusicisfeaturedonthisshow?

下列属于软件著作财产权的是()

库存的商品可分为和。

下列关于医务人员对患者的义务，错误的是

A.曲妥珠单抗B.氟他胺C.阿那曲唑D.他莫昔芬E.顺铂只对癌细胞起作用而对正常体细胞几乎没有伤害的是

下列设备中，具有USB接口的有()。

()是手动托盘搬运车的特点。

公安工作的集中性即统一性,要求在服从国家意志,实行宏观决策,领导与指导等方面高度集中。在()上高度统一。

设α1，α2，…，αk(k＜n)是Rn中k个线性无关的列向量．证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前k列．

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已知齐次线性方程组其中，试讨论a1，a2…an和b满足何种关系时：(Ⅰ)方程组仅有零解；(Ⅱ)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．

设n维向量a=(a，0，…，0，a)T，a＞0，E为n阶单位矩阵，矩阵A=E-aaT，B=，其中A的逆矩阵为B，则a=_________．

设n阶矩阵A与B等价，则必有()．

设3阶对称矩阵A的特征向量值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，又a1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．(Ⅰ)验证a1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(Ⅱ)求矩阵B．

设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量a1=(-1，2，-1)T=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解；(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=L；(Ⅲ)求A及(A-(3/2)E)6，其中E为三阶

设线性方程组(Ⅰ)证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则此线性方程组无解；(Ⅱ)设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，且已知β1，β2是该方程组的两个解，其中β1=，写出此方程组的通解.

设A是n阶矩阵，下列不是命题“0是矩阵A的特征值”的充分必要条件的是()．

两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时，停用而另一台自动开动．试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差．

设A为n阶实矩阵，AT为A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)AX=0和(Ⅱ)ATAX=0必有()．

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库存的商品可分为____________和____________。

下列关于医务人员对患者的义务，错误的是

A.曲妥珠单抗B.氟他胺C.阿那曲唑D.他莫昔芬E.顺铂只对癌细胞起作用而对正常体细胞几乎没有伤害的是

下列设备中，具有USB接口的有()。

()是手动托盘搬运车的特点。

公安工作的集中性即统一性,要求在服从国家意志,实行宏观决策,领导与指导等方面高度集中。在()上高度统一。

库存的商品可分为和。