2. 考研
  3. 设α1，α2，…，αk(k＜n)是Rn中k个线性无关的列向量．证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前k列．

设α1，α2，…，αk(k＜n)是Rn中k个线性无关的列向量．证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前k列．

admin2017-06-26  59
问题 设α1，α2，…，αk(k＜n)是Rn中k个线性无关的列向量．证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前k列．
选项
答案取齐次线性方程组[*]＝0的基础解系ξ1，…，ξn-k，则可证明α1，αk，ξ1…，ξn-k线性无关： 设λ1α1＋…＋λkαk＋μ1ξ1＋…＋μn-kξn-k＝0，两端左乘(λ1α1＋…＋λkαk)T，并利用αiTξj＝0(i＝1，…，k；j＝1，…，n－k)，得(λ1α1＋…＋λkαk)T(λ1α1＋…＋λkαk)＝0，即 ‖λ1α1＋…＋λkαk‖2＝0，[*]λ1α1＋…＋λkαk＝0，而α1，…，αk线性无关，[*]λ1＝…＝λk＝0，[*]μ1ξ1＋…＋μn-kξn-k＝0，又ξ1，…，ξn-k线性无关，则μ1＝…＝μn-k＝0，于是证得 α1，…，αk，ξ1，…，ξn-k线性无关，令矩阵P＝[α1，…αkξ1…ξn-k]，则P为满秩方阵，且以α1，…，αk为其前k列．
解析
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考研数学三

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