2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3一2x2x3。 (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值。

设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3一2x2x3。 (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值。

admin2018-04-18  59
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3一2x2x3。
(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值；
(Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值。
选项
答案(Ⅰ)二次型f(x1，x2，x3)对应的实对称矩阵为A=[*]， ｜λE一A｜=[*] =(λ一a)[(λ—a)(λ一a+1)一1]一[0+(λ一a)] =(λ一a)[(λ一a)(λ一a+1)一2]=(λ一a)[λ2一2aλ+λ+a2一a一2] =(λ-a){λ+[*]}=(λ-a)(λ-a+2)(λ一a一1)。 则λ1=a，λ2=a一2，λ3=a+1。 (Ⅱ)方法一：若规范形为y12+y22，说明有两个特征值为正，一个为0。则由于a一2＜a＜a+1，所以a一2=0，即a=2。 方法二：由于f的规范形为y12+y22，所以A合同于[*]，其秩为2，故｜A｜=λ1，λ2，λ3=0，于是a=0或a=一1或a=2。当a=0时，λ1=0，λ2=1，λ3=一2，此时f的规范形为y12-y22，不合题意。 当a=一1时，λ1=一1，λ2=0，λ3=一3，此时f的规范形为一y12-y22，不合题意。当a=2时，λ1=2，λ2=3，λ3=0，此时f的规范形为y12+y22。 综上可知，a=2。
解析
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考研数学三

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