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设二次型f(x1,x2,x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3一2x2x3。 (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值; (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22,求a的值。
设二次型f(x1,x2,x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3一2x2x3。 (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值; (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22,求a的值。
admin
2018-04-18
56
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=ax
1
2
+ax
2
2
+(a一1)x
3
2
+2x
1
x
3
一2x
2
x
3
。
(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值;
(Ⅱ)若二次型f的规范形为y
1
2
+y
2
2
,求a的值。
选项
答案
(Ⅰ)二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)对应的实对称矩阵为A=[*], |λE一A|=[*] =(λ一a)[(λ—a)(λ一a+1)一1]一[0+(λ一a)] =(λ一a)[(λ一a)(λ一a+1)一2]=(λ一a)[λ
2
一2aλ+λ+a
2
一a一2] =(λ-a){λ+[*]}=(λ-a)(λ-a+2)(λ一a一1)。 则λ
1
=a,λ
2
=a一2,λ
3
=a+1。 (Ⅱ)方法一:若规范形为y
1
2
+y
2
2
,说明有两个特征值为正,一个为0。则由于a一2<a<a+1,所以a一2=0,即a=2。 方法二:由于f的规范形为y
1
2
+y
2
2
,所以A合同于[*],其秩为2,故|A|=λ
1
,λ
2
,λ
3
=0,于是a=0或a=一1或a=2。当a=0时,λ
1
=0,λ
2
=1,λ
3
=一2,此时f的规范形为y
1
2
-y
2
2
,不合题意。 当a=一1时,λ
1
=一1,λ
2
=0,λ
3
=一3,此时f的规范形为一y
1
2
-y
2
2
,不合题意。当a=2时,λ
1
=2,λ
2
=3,λ
3
=0,此时f的规范形为y
1
2
+y
2
2
。 综上可知,a=2。
解析
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0
考研数学三
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