设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3一2x2x3。 (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值。

admin2018-04-18 64

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=ax₁²+ax₂²+(a一1)x₃²+2x₁x₃一2x₂x₃。
(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值；
(Ⅱ)若二次型f的规范形为y₁²+y₂²，求a的值。

选项

答案(Ⅰ)二次型f(x₁，x₂，x₃)对应的实对称矩阵为A=[*]，｜λE一A｜=[*] =(λ一a)[(λ—a)(λ一a+1)一1]一[0+(λ一a)] =(λ一a)[(λ一a)(λ一a+1)一2]=(λ一a)[λ²一2aλ+λ+a²一a一2] =(λ-a){λ+[*]}=(λ-a)(λ-a+2)(λ一a一1)。则λ₁=a，λ₂=a一2，λ₃=a+1。 (Ⅱ)方法一：若规范形为y₁²+y₂²，说明有两个特征值为正，一个为0。则由于a一2＜a＜a+1，所以a一2=0，即a=2。方法二：由于f的规范形为y₁²+y₂²，所以A合同于[*]，其秩为2，故｜A｜=λ₁，λ₂，λ₃=0，于是a=0或a=一1或a=2。当a=0时，λ₁=0，λ₂=1，λ₃=一2，此时f的规范形为y₁²-y₂²，不合题意。当a=一1时，λ₁=一1，λ₂=0，λ₃=一3，此时f的规范形为一y₁²-y₂²，不合题意。当a=2时，λ₁=2，λ₂=3，λ₃=0，此时f的规范形为y₁²+y₂²。综上可知，a=2。

解析

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考研数学三

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设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3一2x2x3。 (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值。

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设4阶矩阵A=（α1，α2，α3，α4），方程组Ax=β的通解为（1，2，2，1）T+c（1，一2，4，0）T，c任意．记β=（α3，α2，α1，β一α4）．求方程组Bx=α1一α2的通解．

已知矩阵A相似于B．A为A的伴随矩阵，则|A+3E|=________．

设A是m×n矩阵，且方程组Ax=β有解，则

已知A是3阶矩阵，A的特征值为1，2，3．则（A）的最大特征值为________．

对于实数x＞0，定义对数函数lnx=．依此定义试证：(1)ln=－lnx(x＞0)；(2)ln(xy)=lnx+1ny(x＞0,y＞0)．

已知α1=[1，2，－3，1]T，α2=[5，－5，a，11]T，α3=[1，－3，6，3]T，α4=[2，－1，3，a]T．问：(1)a为何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性相关；(2)a为何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性无关；(3)a

设A为n阶实矩阵，则对线性方程组(Ⅰ)AX=0和(Ⅱ)ATAX=0，必有()

实二次型f(x1，x2，…，xn)的秩为r，符号差为s，且f和－f合同，则必有()

判别下列正项级数的敛散性：(Ⅰ)，其中{xn}是单调递增而且有界的正数数列．

关于卡托普利，下列说法错误的是

设平面区域D：x2+y2≤a2，则=()。

施工现场所使用的安全警示标志()。

某高校教师某月获得稿费2万元,则其就这笔稿费需要缴纳的个人所得税的数额为()元

我国教育的根本特点：()。

本杰明-富兰克林是美国历史上唯一一位参与签署美国立国的四大文件的人，包括《独立宣言》《美法同盟条约》《巴黎和约》《美国宪法》。

＝__________。

Somefarmersmayreplantcorn.Othersmay【S1】cornwithsoybeans(大豆).Whatfarmersdonowdependspartlyonthe【S2】of

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