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设A=ααT+ββT,α,β是3维列向量,αT为α的转置,βT是β的转置.(1)证明秩R(A)≤2;(2)若α,β线性相关,则R(A)﹤2.
设A=ααT+ββT,α,β是3维列向量,αT为α的转置,βT是β的转置.(1)证明秩R(A)≤2;(2)若α,β线性相关,则R(A)﹤2.
admin
2020-06-05
36
问题
设A=ααT+ββT,α,β是3维列向量,αT为α的转置,βT是β的转置.(1)证明秩R(A)≤2;(2)若α,β线性相关,则R(A)﹤2.
选项
答案
(1)因为α,β均为列向量,所以αα
T
,ββ
T
是3阶矩阵,且有R(αα
T
)≤R(α)≤1,R(ββ
T
)≤R(β)≤1.那么,R(A)=R(αα
T
+ββ
T
)≤R(αα
T
)+R(ββ
T
)≤2. (2)若α,β线性相关,不妨设β=kα,那么R(A)=R[αα
T
+(kα)(kα)
T
]=R[(1+k
2
)αα
T
]=R(αα
T
)≤1﹤2
解析
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考研数学一
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