2. 考研
  3. 设A＝ααT＋ββT，α，β是3维列向量，αT为α的转置，βT是β的转置．(1)证明秩R(A)≤2；(2)若α，β线性相关，则R(A)﹤2．

设A＝ααT＋ββT，α，β是3维列向量，αT为α的转置，βT是β的转置．(1)证明秩R(A)≤2；(2)若α，β线性相关，则R(A)﹤2．

admin2020-06-05  24
问题 设A＝ααT＋ββT，α，β是3维列向量，αT为α的转置，βT是β的转置．(1)证明秩R(A)≤2；(2)若α，β线性相关，则R(A)﹤2．
选项
答案(1)因为α，β均为列向量，所以ααT，ββT是3阶矩阵，且有R(ααT)≤R(α)≤1，R(ββT)≤R(β)≤1．那么，R(A)＝R(ααT＋ββT)≤R(ααT)＋R(ββT)≤2． (2)若α，β线性相关，不妨设β＝kα，那么R(A)＝R[ααT＋(kα)(kα)T]＝R[(1＋k2)ααT]＝R(ααT)≤1﹤2
解析
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考研数学一

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