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设A是秩为r的n阶实对称矩阵,满足A4-3A3+3A2-2A=0,则矩阵A的n个特征值是_______.
设A是秩为r的n阶实对称矩阵,满足A4-3A3+3A2-2A=0,则矩阵A的n个特征值是_______.
admin
2019-05-12
50
问题
设A是秩为r的n阶实对称矩阵,满足A
4
-3A
3
+3A
2
-2A=0,则矩阵A的n个特征值是_______.
选项
答案
2(r重),0(n-r重).
解析
设A是矩阵A的任一特征值,α是矩阵A属于特征值λ的特征向量,即Aα=Aλ,α≠0.那么,A
n
α=λ
n
α.于是有
(A
4
-3A
3
+3A
2
-2A)α=(λ
4
-3λ
3
+3λ
2
-2λ)α=0.
从而λ
4
-3λ
3
+3λ
2
-2λ=0,即λ(λ-2)(λ
2
-λ+1)=0.
因为实对称矩阵的特征值必为实数,所以矩阵A的特征值只能是2或0.又因为实对称矩阵必可相似对角化,故
而r(A)=r(A)=r,从而矩阵A的特征值是2(r重),0(n-r重).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Kf04777K
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考研数学一
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