设A是秩为r的n阶实对称矩阵，满足A4－3A3＋3A2－2A＝0，则矩阵A的n个特征值是_______．

admin2019-05-12 38

问题设A是秩为r的n阶实对称矩阵，满足A⁴－3A³＋3A²－2A＝0，则矩阵A的n个特征值是_______．

选项

答案2(r重)，0(n－r重)．

解析设A是矩阵A的任一特征值，α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，即Aα＝Aλ，α≠0．那么，Aⁿα＝λⁿα．于是有
(A⁴－3A³＋3A²－2A)α＝(λ⁴－3λ³＋3λ²－2λ)α＝0．
从而λ⁴－3λ³＋3λ²－2λ＝0，即λ(λ－2)(λ²－λ＋1)＝0．
因为实对称矩阵的特征值必为实数，所以矩阵A的特征值只能是2或0．又因为实对称矩阵必可相似对角化，故

而r(A)＝r(A)＝r，从而矩阵A的特征值是2(r重)，0(n－r重)．

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考研数学一

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