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设A为m×n矩阵,下列命题中正确的是( )
设A为m×n矩阵,下列命题中正确的是( )
admin
2019-05-12
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问题
设A为m×n矩阵,下列命题中正确的是( )
选项
A、若A中有n阶子式不为零,则Ax=0仅有零解。
B、若A中有n阶子式不为零,则Ax=b必有唯一解。
C、若A中有m阶子式不为零,则Ax=0仅有零解。
D、若A中有m阶子式不为零,则Ax=b必有唯一解。
答案
A
解析
A是m×n矩阵,若A中有n阶子式不为零,而A中又不存在n+1阶子式,故必有R(A)=n。同理,若A中有m阶子式不为零,则必有R(A)=m。
对于(A),因为R(A)=n,而Ax=0是n个未知数的齐次方程组,所以Ax=0必只有零解。故(A)正确。
对于(B),当R(A)=n时,增广矩阵A的秩有可能是n+1,所以Ax=b可能无解,因此(B)不正确。例如:
有R(A)=2,
=3,方程组无解。
对于(C)和(D),R(A)=m,即A的行向量组线性无关,那么其延伸组必线性无关,所以
=m。因此,方程组Ax=b必有解,但未必有唯一解,Ax=0也未必只有零解。
例如,
有无穷多解。仅当m=n时,选项(C)、选项(D)才正确。
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考研数学一
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