设A为m×n矩阵，下列命题中正确的是( )

admin2019-05-12 44

问题设A为m×n矩阵，下列命题中正确的是( )

选项 A、若A中有n阶子式不为零，则Ax=0仅有零解。
B、若A中有n阶子式不为零，则Ax=b必有唯一解。
C、若A中有m阶子式不为零，则Ax=0仅有零解。
D、若A中有m阶子式不为零，则Ax=b必有唯一解。

答案A

解析 A是m×n矩阵，若A中有n阶子式不为零，而A中又不存在n+1阶子式，故必有R(A)=n。同理，若A中有m阶子式不为零，则必有R(A)=m。
对于(A)，因为R(A)=n，而Ax=0是n个未知数的齐次方程组，所以Ax=0必只有零解。故(A)正确。
对于(B)，当R(A)=n时，增广矩阵A的秩有可能是n+1，所以Ax=b可能无解，因此(B)不正确。例如：