设矩阵A=已知线性方程组AX=β有解但不唯一，试求 (Ⅰ)a的值； (Ⅱ)正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．

admin2020-05-16 63

问题设矩阵A=

已知线性方程组AX=β有解但不唯一，试求
(Ⅰ)a的值；
(Ⅱ)正交矩阵Q，使Q^TAQ为对角矩阵．

选项

答案(Ⅰ)由题设，AX=β的解不唯一，从而其系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相同但小于3，对增广矩阵做初等行变换，得 [*] 不难推断出a=-2．因此A=[*] (Ⅱ)下面求A的特征值及特征向量．由｜AλE｜=0，即[*] 可解出λ₁=3，λ₂=-3，λ₃=0，相应特征向量为[*] 单位化得[*] 令[*]

解析

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