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设A,B均为n阶矩阵,A有n个互不相同的特征值,且AB=BA.证明:B相似于对角阵.
设A,B均为n阶矩阵,A有n个互不相同的特征值,且AB=BA.证明:B相似于对角阵.
admin
2018-04-15
53
问题
设A,B均为n阶矩阵,A有n个互不相同的特征值,且AB=BA.证明:B相似于对角阵.
选项
答案
A有n个互不相同的特征值,故存在可逆阵P,使得P
一1
AP=diag(λ
1
,λ
2
,…,λ
n
)=A
1
,其中λ
i
,i=1,2,…,n是A的特征值,且λ
i
≠λ
j
(i≠j).又AB=BA,故P
一1
APP
一1
BP=P
一1
BPP
一1
AP,即A
1
P
一1
BP=P
一1
BPA
1
.设P
一1
BP=(
ij
)
n×n
,则[*]
解析
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考研数学一
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