求使得不等式≤ln(x2+y2)≤A(x2+y2)在区域D={(x，y)｜x＞0，y＞0}内成立的最小正数A与最大负数B．

admin2019-03-12 51

问题求使得不等式

≤ln(x²+y²)≤A(x²+y²)在区域D={(x，y)｜x＞0，y＞0}内成立的最小正数A与最大负数B．

选项

答案在区域D={(x，y)｜x＞0，y＞0}内 ln(x²+y²)≤A(x²+y²)[*]≤A，因此使上式成立的常数A的最小值就是函数f(x，y)=[*]在区域D上的最大值．令r=x²+y²则A的最小值就是函数F(r)=[*]在区间(0，+∞)内的最大值．计算可得 [*] 这表明F(r)在(0，+∞)内的最大值是F(e)=[*]．在区域D={(x，y)｜x＞0，y＞0}内 [*]＜ln(x²+y²) → B≤xyln(x²+y²)，因此使上式成立的常数B的最大值就是函数g(x，y)=xyln(x²+y²)在区域D上的最小值．计算可得 [*] 由此可知g(x，y)在D中有唯一驻点[*]．因为在区域D的边界{(x，y)｜x=0，y≥0}与{(x，y)｜x≥0，y=0}上函数g(x，y)=0，而且当x²+y²≥1时g(x，y)≥0，从而[*]就是g(x，y)在D内的最小值．即B的最大值是一[*]．

解析

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考研数学三

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求使得不等式≤ln(x2+y2)≤A(x2+y2)在区域D={(x，y)｜x＞0，y＞0}内成立的最小正数A与最大负数B．

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已知w==1，求常数a≥0与b的值．

设f(x)可导，且f(0)=0，f’(0)≠0，求w=．

给出满足下列条件的微分方程：(Ⅰ)方程有通解y=(C1+C2x+x—1)e—x；(Ⅱ)方程为二阶常系数非齐次线性方程，并有两个特解y1=cos2x一xsin2x．

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设X服从参数为2的指数分布，则Y＝1－e－2X的概率密度fY(y)＝_______．

计算定积分

证明推广的积分中值定理：设F（x）与G（x）都是区间[a，b]上的连续函数，且G（x）≥0，G（x）0，则至少存在一点ξ∈[a，b]使得∫abF（x）G（x）dx=F（ξ）∫abG（x）dx．

设随机变量X与Y相互独立，且X～B(5，0．8)，Y～N(1，1)，则根据切比雪夫不等式有P{0＜x+y＜10}≥________。

设随机变量X方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{|X—E(X)|≥2)≤____________．

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