求使得不等式≤ln(x2+y2)≤A(x2+y2)在区域D={(x，y)｜x＞0，y＞0}内成立的最小正数A与最大负数B．

admin2019-03-12 61

问题求使得不等式

≤ln(x²+y²)≤A(x²+y²)在区域D={(x，y)｜x＞0，y＞0}内成立的最小正数A与最大负数B．

选项

答案在区域D={(x，y)｜x＞0，y＞0}内 ln(x²+y²)≤A(x²+y²)[*]≤A，因此使上式成立的常数A的最小值就是函数f(x，y)=[*]在区域D上的最大值．令r=x²+y²则A的最小值就是函数F(r)=[*]在区间(0，+∞)内的最大值．计算可得 [*] 这表明F(r)在(0，+∞)内的最大值是F(e)=[*]．在区域D={(x，y)｜x＞0，y＞0}内 [*]＜ln(x²+y²) → B≤xyln(x²+y²)，因此使上式成立的常数B的最大值就是函数g(x，y)=xyln(x²+y²)在区域D上的最小值．计算可得 [*] 由此可知g(x，y)在D中有唯一驻点[*]．因为在区域D的边界{(x，y)｜x=0，y≥0}与{(x，y)｜x≥0，y=0}上函数g(x，y)=0，而且当x²+y²≥1时g(x，y)≥0，从而[*]就是g(x，y)在D内的最小值．即B的最大值是一[*]．

解析

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考研数学三

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