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  3. 设随机变量X的概率密度为f(χ)，已知D(X)＝1，而随机变量Y的概率密度为f(－y)，且ρXY＝－，记Z＝X＋Y，求E(Z)，D(Z)．

设随机变量X的概率密度为f(χ)，已知D(X)＝1，而随机变量Y的概率密度为f(－y)，且ρXY＝－，记Z＝X＋Y，求E(Z)，D(Z)．

admin2018-11-23  38
问题 设随机变量X的概率密度为f(χ)，已知D(X)＝1，而随机变量Y的概率密度为f(－y)，且ρXY＝－，记Z＝X＋Y，求E(Z)，D(Z)．
选项
答案E(Z)＝E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)＝∫－∞＋∞χ(χ)dχ＋∫－∞＋∞yf(－y)dy． 令y＝－χ，则∫－∞＋∞yf(－y)dy＝∫＋∞－∞(－χ)f(χ)d(－χ)＝∫－∞＋∞χf(χ)dχ． 所以E(Z)＝0． 又D(Y)＝E(Y2)－[E(Y)]2＝E(Y2)－[－E(X)]2， 而E(Y2)＝∫－∞＋∞y2f(－y)dy＝∫＋∞－∞(－y)dy＝∫(－χ)2(χ)d(－χ)＝∫－∞＋∞χ2f(χ)dχ＝E(X2)， 所以D(Y)＝E(Y2)－[－E(X)]2＝E(X2)－[E(X)]2＝D(X)＝1． 于是D(Z)＝D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)＋2Cov(X，Y) ＝D(X)＋D(Y)＋2[*].ρXY ＝1＋1＋[*]
解析
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考研数学一

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