设f(x)连续，且f(x)一2∫0xf(x—t)dt=ex，则f(x)=_______．

admin2021-11-08 3

问题设f(x)连续，且f(x)一2∫₀^xf(x—t)dt=e^x，则f(x)=_______．

选项

答案f(x)=2e^2x-e^x

解析由∫₀^xf(x—t)dt

∫₀^xf(u)(一du)=∫₀^xf(u)du得f(x)一2∫₀^xf(u)du=e^x，
求导得f’(x)一2f(x)=e^x，解得
f(x)=[∫e^x.e^∫-2dxdx+C]e^-∫-2dx=(一e^-x+C)e^2x=Ce^2x-e^x，
由f(0)=1得C=2，故f(x)=2e^2x一e^x．

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