设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MN”表示“M的充分必要条件是N”，则必有

admin2021-01-19 27

问题设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“M

N”表示“M的充分必要条件是N”，则必有

选项 A、F(x)是偶函数

f(x)是奇函数．
B、F(x)是奇函数

f(x)是偶函数．
C、F(x)是周期函数

f(x)是周期函数．
D、F(x)是单调函数

f(x)是单调函数．

答案A

解析直接法若F(x)是连续函数f(x)的原函数，且F(x)是偶函数，则F(一 x)=F(x)，式两端对x求导得
一F’(一x)=F(x)
即一 f(一x)=f(x)
故f(x)为奇函数．
反之，若f(x)为奇函数，则G(x)=∫₀^xf(t)dt是f(x)的一个原函数，又G(一x)=∫₀^一xf(x)dt

∫₀^xf(u)du=G(x)
则G(x)是偶函数，由于F(x)也是f(x)的原函数，则
F(x)=G(x)+C
F(x)亦是偶函数，故应选(A)．

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