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  3. 设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MN”表示“M的充分必要条件是N”，则必有

设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MN”表示“M的充分必要条件是N”，则必有

admin2021-01-19  39
问题 设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MN”表示“M的充分必要条件是N”，则必有
选项 A、F(x)是偶函数f(x)是奇函数．
B、F(x)是奇函数f(x)是偶函数．
C、F(x)是周期函数f(x)是周期函数．
D、F(x)是单调函数f(x)是单调函数．
答案A
解析 直接法  若F(x)是连续函数f(x)的原函数，且F(x)是偶函数，则F(一 x)=F(x)，式两端对x求导得
一F’(一x)=F(x)
即    一 f(一x)=f(x)
故f(x)为奇函数．
反之，若f(x)为奇函数，则G(x)=∫0xf(t)dt是f(x)的一个原函数，又G(一x)=∫0一xf(x)dt∫0xf(u)du=G(x)
则G(x)是偶函数，由于F(x)也是f(x)的原函数，则
F(x)=G(x)+C
F(x)亦是偶函数，故应选(A)．
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考研数学二

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