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设向量组α1=[1,l,1,2]T,α2=[3,a+4,2a+5,a+7]T,α3=[4,6,8,10]T,α4=[2,3,2a+3,5]T;β=[0,1,3,6]T.求: a,b满足何种条件时,任意的4维非零列向量ξ均可由α1,α2,α3,α4,β线性
设向量组α1=[1,l,1,2]T,α2=[3,a+4,2a+5,a+7]T,α3=[4,6,8,10]T,α4=[2,3,2a+3,5]T;β=[0,1,3,6]T.求: a,b满足何种条件时,任意的4维非零列向量ξ均可由α1,α2,α3,α4,β线性
admin
2021-07-27
22
问题
设向量组α
1
=[1,l,1,2]
T
,α
2
=[3,a+4,2a+5,a+7]
T
,α
3
=[4,6,8,10]
T
,α
4
=[2,3,2a+3,5]
T
;β=[0,1,3,6]
T
.求:
a,b满足何种条件时,任意的4维非零列向量ξ均可由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β线性表示.
选项
答案
若任意的4维非零列向量ξ均可由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β线性表示,即方程组[*]有解,也即r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β)=r([α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β|ξ]).又矩阵[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β|ξ]的行数为4,所以r([α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β|ξ])≤4.若r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β)=4,则必有r([α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β|ξ])=4=r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β),即当a≠1/2,且b≠1时,任意的4维非零列向量ξ均可由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β线性表示.
解析
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考研数学二
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