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设位于第一象限的曲线y=f(x)上任一点P(x,y)的切线在x轴上的截距等于该点法线在y轴上截距的相反数,且曲线经过点(1,0),求该曲线.
设位于第一象限的曲线y=f(x)上任一点P(x,y)的切线在x轴上的截距等于该点法线在y轴上截距的相反数,且曲线经过点(1,0),求该曲线.
admin
2021-10-18
53
问题
设位于第一象限的曲线y=f(x)上任一点P(x,y)的切线在x轴上的截距等于该点法线在y轴上截距的相反数,且曲线经过点(1,0),求该曲线.
选项
答案
切线为Y-y=y’(X-x),令Y=0得X=x-y/y’;法线为Y-y=-1/y’(X-x),令X=0得Y=y+x/y’,由题意得x-y/y’=-y-x/y’,解得dy/dx=(y/x-1)/(y/x+1),令u=y/x,代入得u+xdu/dx=(u-1)/(u+1),变量分离得(u+1)/(u
2
+1)du=-dx/x,即积分得1/2ln(u
2
+1)+arctanu=-lnx+C,初始条件代入得C=0,所求曲线为1/2ln(y
2
/x
2
+1)+arctany/x=-lnx.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/yRy4777K
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考研数学二
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