设位于第一象限的曲线y=f(x)上任一点P(x，y)的切线在x轴上的截距等于该点法线在y轴上截距的相反数，且曲线经过点(1，0)，求该曲线．

admin2021-10-18 50

问题设位于第一象限的曲线y=f(x)上任一点P(x，y)的切线在x轴上的截距等于该点法线在y轴上截距的相反数，且曲线经过点(1，0)，求该曲线．

选项

答案切线为Y-y=y’(X-x)，令Y=0得X=x-y/y’；法线为Y-y=-1/y’(X-x)，令X=0得Y=y+x/y’，由题意得x-y/y’=-y-x/y’，解得dy/dx=(y/x-1)/(y/x+1)，令u=y/x，代入得u+xdu/dx=(u-1)/(u+1)，变量分离得(u+1)/(u²+1)du=-dx/x，即积分得1/2ln(u²+1)+arctanu=-lnx+C，初始条件代入得C=0，所求曲线为1/2ln(y²/x²+1)+arctany/x=-lnx．

解析

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