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已知3阶矩阵B≠O,且B的每一个列向量都是以下方程组的解. (1)求λ的值. (2)证明|B|=0.
已知3阶矩阵B≠O,且B的每一个列向量都是以下方程组的解. (1)求λ的值. (2)证明|B|=0.
admin
2020-09-29
18
问题
已知3阶矩阵B≠O,且B的每一个列向量都是以下方程组的解.
(1)求λ的值.
(2)证明|B|=0.
选项
答案
(1)因为B≠O,故B中至少有一列是非零向量,依题意,所给齐次线性方程组有非零解,故必有系数行列式|A|=[*]=5(λ一1)=0,由此可得λ=1. (2)设B的列向量为β
1
,β
2
,β
3
,由题意Aβ
1
=0,Aβ
2
=0,Aβ
3
=0,则AB=A(β
1
,β
2
,β
3
)=O. 因为A≠O,故必有|B|=0.倘若不然,设|B|≠0,则B可逆,则由AB=O有A=O, 这与已知A≠O相矛盾,故|B|=0.
解析
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考研数学一
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