2. 考研
  3. 设A是3阶方阵，A*是A的伴随矩阵，A的行列式|A|=1／2，求行列式|(3A)－1－2A*|的值．

设A是3阶方阵，A*是A的伴随矩阵，A的行列式|A|=1／2，求行列式|(3A)－1－2A*|的值．

admin2018-07-26  103
问题 设A是3阶方阵，A*是A的伴随矩阵，A的行列式|A|=1／2，求行列式|(3A)－1－2A*|的值．
选项
答案因为(3A)－1=1／3A－1，A*=|A|A－1=1／2A－1，所以|(3A)－1－2A*|=|1／3A－1－A－1|=|－2／3A－1|=(－2／3)3|A－1|=(－2／3)31／|A|=－16／27．
解析 本题主要考查逆矩阵的概念、性质及方阵行列式的概念．由于一般地有|P+Q|≠|P|+|Q|，所以本题将(3A)－1－2A*化成一个方阵是求解关键．本题亦可由A－1=1／|A|A*及|A*|=|A|2，得|(3A)－1－2A*|=|2／3A*－2A*|=|－4／3A*|=(－4／3A3|=(－4／3)3|A|2=－16／27．
注意，对于咒阶可逆方阵A，由AA－1=E两端取行列式，即得|A－1|=1／|A|；由A*=|A|A－1，即得|A*|=|A|n|A|－1=|A|n－1；由于用数k乘A是用k去乘A的每个元素，故有|kA|=kn|A|．
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考研数学三

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