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[2016年] 已知y1(x)=ex,y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x—1)y"-(2x+1)y′+2y=0的解,若u(一1)=e,u(0)=-1,求u(x),并写出该微分方程的通解.
[2016年] 已知y1(x)=ex,y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x—1)y"-(2x+1)y′+2y=0的解,若u(一1)=e,u(0)=-1,求u(x),并写出该微分方程的通解.
admin
2021-01-19
51
问题
[2016年] 已知y
1
(x)=e
x
,y
2
(x)=u(x)e
x
是二阶微分方程(2x—1)y"-(2x+1)y′+2y=0的解,若u(一1)=e,u(0)=-1,求u(x),并写出该微分方程的通解.
选项
答案
先用特解代入法求出u(x)所满足的方程,解此方程求出u(x),得到两个线性无关的特解,再利用命题1.6.3.1(1)写出所给方程的通解. 易求得y′
2
(x)=[u(x)+u′(x)]e,y"
2
(x)=(u"+2u′+u)e
x
.将其代入所给方程得到 (2x—1)u"+(2x-3)u′=0, 令P=u′,则P′=u",(2x-1)p′+(2x-3)p=0,即P′+[*]P=0. 解得P=c
1
(2x一1)e
-x
,即[*]=c
1
(2x-1)e
-x
,故 u(x)=f c
1
(2x一1)e
-x
dx+c
2
=一c
1
(2x+1)e
-x
+c
2
, 由u(一1)=e,u(0)=一1得[*] 由式①一式②得c
1
(e+1)=e+1,故c
1
=1,从而c
2
=0. 故u(x)=一(2x+1)e
-x
,则y
1
(x)=一(2x+1)e
-x
·e
x
=一(2x+1). 因y
1
(x)与y
2
(x)线性无关,故所给方程的通解为 y=k
1
y
1
(x)+k
2
y
2
(x)=k
1
e
-x
=k
2
(2x+1), 其中k
1
,k
2
为任意常数.
解析
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0
考研数学二
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