2. 考研
  3. [2016年] 已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x—1)y＂－(2x+1)y′+2y=0的解，若u(一1)=e，u(0)=－1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．

[2016年] 已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x—1)y＂－(2x+1)y′+2y=0的解，若u(一1)=e，u(0)=－1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．

admin2021-01-19  78
问题 [2016年]  已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x—1)y＂－(2x+1)y′+2y=0的解，若u(一1)=e，u(0)=－1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．
选项
答案 先用特解代入法求出u(x)所满足的方程，解此方程求出u(x)，得到两个线性无关的特解，再利用命题1．6．3．1(1)写出所给方程的通解． 易求得y′2(x)=[u(x)+u′(x)]e，y＂2(x)=(u＂+2u′+u)ex．将其代入所给方程得到 (2x—1)u＂+(2x－3)u′=0， 令P=u′，则P′=u＂，(2x－1)p′+(2x－3)p=0，即P′+[*]P=0． 解得P=c1(2x一1)e-x，即[*]=c1(2x－1)e-x，故 u(x)=f c1(2x一1)e-xdx+c2=一c1(2x+1)e-x+c2， 由u(一1)=e，u(0)=一1得[*] 由式①一式②得c1(e+1)=e+1，故c1=1，从而c2=0． 故u(x)=一(2x+1)e-x，则y1(x)=一(2x+1)e-x·ex=一(2x+1)． 因y1(x)与y2(x)线性无关，故所给方程的通解为 y=k1y1(x)+k2y2(x)=k1e-x=k2(2x+1)， 其中k1，k2为任意常数．
解析
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考研数学二

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