[2008年] 设f(x)是区间[0,+∞)上具有连续导数的单调增加函数,且f(0)=1.对任意t∈[0,+∞),由直线x=0,x=t,曲线y=f(x)以及z轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍,求函

admin2019-04-05  79

问题 [2008年]  设f(x)是区间[0,+∞)上具有连续导数的单调增加函数,且f(0)=1.对任意t∈[0,+∞),由直线x=0,x=t,曲线y=f(x)以及z轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍,求函数f(x)的表达式.

选项

答案先写出旋转体体积及其侧面积表示式,依题意建立f(x)所满足的方程,求导可得到f(x)满足的微分方程,解之即可得到f(x)的表达式. 旋转体的体积V=π∫0tf2(x)dx,侧面面积为S=2π∫01f(x)[*], 由题设条件有 ∫0tf2(x)dx=∫0tf(x)[*]dx, 上式两边对t求导,得到 f2(t)=f(t)[*],即 y′=[*], 亦即[*]=dx. 两边积分得到ln(y+[*])=t+C.由y(0)=1得C=0,故y+[*]=et, y=(et+e-t)/2,于是所求函数为y=f(x)=(ex+e-x)/2.

解析
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