设(x1，x2，…，xn)和(x1，x2，…，xn)是参数θ的两个独立的无偏估计量，且方差是方差的4倍．试求出常数k1与k2，使得k1+k2是θ的无偏估计量，且在所有这样的线性估计中方差最小．

admin2016-11-03 68

问题设

(x₁，x₂，…，x_n)和

(x₁，x₂，…，x_n)是参数θ的两个独立的无偏估计量，且

方差是

方差的4倍．试求出常数k₁与k₂，使得k₁

+k₂

是θ的无偏估计量，且在所有这样的线性估计中方差最小．

选项

答案由无偏估计量的定义，为使k₁[*]也是θ的无偏估计量，必有 E(k₁[*])=(k₁+k₂)θ=θ，即得k₁+k₂=1．为求k₁，k₂之值，使无偏估计量k₁[*])之值最小，因 [*] 故归结为求函数f(k₁，k₂)=[*]在条件k₁+k₂=1下的最小值．可用拉格朗日乘数法求之．为此，令 F(k₁，k₂，λ)=[*]+λ(k₁+k₂—1)，令 [*]=8k₁+λ=0， [*]=2k₂+λ=0， [*]=k₁+k₂—1=—0，易求得k₁=[*] 即满足上述条件的所有线性估计中，当k₁=[*]时，相应方差最小．

解析由无偏估计量的定义易求出，在条件k₁+k₂=1时，可使k₁

也是θ的无偏估计量．然后用拉格朗日乘数法，求出线性估计中的最小方差D(k₁

)在条件k₁+k₂=1时的k₁与k₂之值．

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考研数学一

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