设向量α=(a1，a2，…，an)T，其中a1≠0，A=αT． (1)求方程组AX=0的通解； (2)求A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量．

admin2021-11-15 65

问题设向量α=(a₁，a₂，…，a_n)^T，其中a₁≠0，A=α^T．
(1)求方程组AX=0的通解；
(2)求A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量．

选项

答案因为r(A)=1，所以AX=0的基础解系含有n-1个线性无关的特征向量，其基础解系为 α₁=(-a₂/a₁，1,0，…，0)^T，α₂=(-a₃/a₁，0,1，…，0)^T，…，α_n-1=(-a_n/a₁，0,0，…，1)^T 则方程组AX=0的通解为k₁α₁+k₂α₂+…+k_n-1α_n-1(k₁，k₂，…，k_n-1为任意常数)． (2)因为A²=kA，其中k=(α，α)=[*]a_i²＞0，所以A的非零特征值为k，因为Aα=αα^Tα=kα，所以非零特征值k对应的线性无关的特征向量为α．

解析

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考研数学二

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设向量α=(a1，a2，…，an)T，其中a1≠0，A=αT． (1)求方程组AX=0的通解； (2)求A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量．

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