设f(χ)=eχ-∫0χ(χ-t)f(t)dt,其中f(χ)连续,求f(χ).

admin2020-03-16  45

问题 设f(χ)=eχ-∫0χ(χ-t)f(t)dt,其中f(χ)连续,求f(χ).

选项

答案由f(χ)=eχ-∫0χ(χ-t)f(t)dt,得f(χ)=eχ-χ∫0χf(t)dt+∫0χtf(t)dt, 两边对χ求导,得f′(χ)=eχ-∫0χf(t)dt,两边再对χ求导得f〞(χ)+f(χ)=eχ, 其通解为f(χ)=C1cosχ+C2sinχ+[*]eχ.在f(χ)=eχ-∫0χ(χ-t)f(t)dt中,令χ=0得 f(0)=1,在f′(χ)=eχ-∫0χf(t)dt中,令χ=0得f′(0)=1,于是有C1=[*],C2=[*], 故f(χ)=[*](cosχ+sinχ)+[*]eχ

解析
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