设f(χ)＝eχ－∫0χ(χ－t)f(t)dt，其中f(χ)连续，求f(χ)．

admin2020-03-16 48

问题设f(χ)＝e^χ－∫₀^χ(χ－t)f(t)dt，其中f(χ)连续，求f(χ)．

选项

答案由f(χ)＝e^χ－∫₀^χ(χ－t)f(t)dt，得f(χ)＝e^χ－χ∫₀^χf(t)dt＋∫₀^χtf(t)dt，两边对χ求导，得f′(χ)＝e^χ－∫₀^χf(t)dt，两边再对χ求导得f〞(χ)＋f(χ)＝e^χ，其通解为f(χ)＝C₁cosχ＋C₂sinχ＋[*]e^χ．在f(χ)＝e^χ－∫₀^χ(χ－t)f(t)dt中，令χ＝0得 f(0)＝1，在f′(χ)＝e^χ－∫₀^χf(t)dt中，令χ＝0得f′(0)＝1，于是有C₁＝[*]，C₂＝[*]，故f(χ)＝[*](cosχ＋sinχ)＋[*]e^χ．

解析

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