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设向量组α,β,γ线性无关,α,β,σ线性相关,则( ).
设向量组α,β,γ线性无关,α,β,σ线性相关,则( ).
admin
2020-03-24
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问题
设向量组α,β,γ线性无关,α,β,σ线性相关,则( ).
选项
A、α必可由β,γ,σ线性表示
B、β必不可由α,γ,σ线性表示
C、σ必可由α,β,γ线性表示
D、α必不可由α,β,γ线性表示
答案
C
解析
解一 因α,β,γ线性无关,故α,β也线性无关.而α,β,σ线性相关,由命题2.3.1.1知,σ必可由α,β线性表示,即σ必可由α,β,γ线性表示.仅(C)入选.
解二 可用向量组的秩判别.因α,β线性无关,故秩([α,β])=2.而α,β,σ线性相关,α,β线性无关,故秩([α,β,σ])=2,故秩([α,β,σ])=秩([α,β]).由命题2.3.1.2(1)知,σ可由α,β线性表示,因而σ也可由α,β,γ线性表示.仅(C)入选.
解三 因α,β,γ线性无关,故秩([α,β,γ])=3,而α,β线性无关,α,β,σ线性相关,故σ为α,β的线性组合,也为α,β,γ的线性组合,由命题2.3.1.2(1)知,秩([α,β,γ,σ])=3.于是秩([α,β,γ])=秩([α,β,γ,σ]).再由命题2.3.1.2(1)知,σ可由α,β,γ线性表出.仅(C)入选.
注:命题2.3.1.1 α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,而β,α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,则β可由α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示,且表示法唯一.
命题2.3.1.2 设A=[α
1
,α
2
,…,α
m
],B=[α
1
,α
2
,…,α
m
,β],其中α
1
,α
2
,…,α
m
,β均为n维列向量,则(1)β可由α
1
,α
2
,…,α
m
线性表示的充要条件是秩(A)=秩(B),即秩([α
1
,α
2
,…,α
m
])=秩([α
1
,α
2
,…,α
m
,β]);
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考研数学三
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