设函数f(x)在(一∞,+∞)内连续,且F(x)=r(2t一x)f(t)dt,证明: (Ⅰ)若f(x)是偶函数,则F(x)也是偶函数。 (Ⅱ)若f(x)是单调减函数,则F(x)也是单调减函数。

admin2018-05-25  57

问题 设函数f(x)在(一∞,+∞)内连续,且F(x)=r(2t一x)f(t)dt,证明:
(Ⅰ)若f(x)是偶函数,则F(x)也是偶函数。
(Ⅱ)若f(x)是单调减函数,则F(x)也是单调减函数。

选项

答案(Ⅰ)F(一x)=∫0-x(2t+x)f(t)dt[*]一∫0x(一2u+x)f(一u)du, 若f(x)是偶函数,则有f(一x)=f(x)。故 上式=∫0x(2u一x)f(u)du=F(x), 即F(x)也是偶函数。 (Ⅱ)欲证F(x)是单调减函数,则需证F’(x)<0或F’(x)≤0且等号仅在某些点成立。 由已知 F(x)=2∫0xtf(t)dt一x∫0xf(t)dt, 则 F’(x)=2xf(x)一∫0xf(t)dt—xf(x)=xf(x)一∫0xf(t)dt =∫0xf(x)dt—∫0xf(t)dt=∫0x[f(x)一f(t)]dx。 因f(x)是单调减函数,t介于0与x之间,所以当x>0时,f(x)一f(t)<0,故F’(x)<0;当 x<0时,f(x)一f(t)>0,故F’(x)<0;当x=0时,F’(0)=0。 即x∈(一∞,+∞)时,F’(x)≤0且符号仅在x=0时成立,因此F(x)也是单调减函数。

解析
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