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  3. 设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，且F(x)=r(2t一x)f(t)dt，证明： (Ⅰ)若f(x)是偶函数，则F(x)也是偶函数。 (Ⅱ)若f(x)是单调减函数，则F(x)也是单调减函数。

设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，且F(x)=r(2t一x)f(t)dt，证明： (Ⅰ)若f(x)是偶函数，则F(x)也是偶函数。 (Ⅱ)若f(x)是单调减函数，则F(x)也是单调减函数。

admin2018-05-25  90
问题 设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，且F(x)=r(2t一x)f(t)dt，证明：
(Ⅰ)若f(x)是偶函数，则F(x)也是偶函数。
(Ⅱ)若f(x)是单调减函数，则F(x)也是单调减函数。
选项
答案(Ⅰ)F(一x)=∫0-x(2t+x)f(t)dt[*]一∫0x(一2u+x)f(一u)du， 若f(x)是偶函数，则有f(一x)=f(x)。故 上式=∫0x(2u一x)f(u)du=F(x)， 即F(x)也是偶函数。 (Ⅱ)欲证F(x)是单调减函数，则需证F’(x)＜0或F’(x)≤0且等号仅在某些点成立。 由已知 F(x)=2∫0xtf(t)dt一x∫0xf(t)dt， 则 F’(x)=2xf(x)一∫0xf(t)dt—xf(x)=xf(x)一∫0xf(t)dt =∫0xf(x)dt—∫0xf(t)dt=∫0x[f(x)一f(t)]dx。 因f(x)是单调减函数，t介于0与x之间，所以当x＞0时，f(x)一f(t)＜0，故F’(x)＜0；当 x＜0时，f(x)一f(t)＞0，故F’(x)＜0；当x=0时，F’(0)=0。 即x∈(一∞，+∞)时，F’(x)≤0且符号仅在x=0时成立，因此F(x)也是单调减函数。
解析
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考研数学一

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