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设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1.过曲线上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1一 S2恒为1,求
设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1.过曲线上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1一 S2恒为1,求
admin
2021-01-19
81
问题
设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1.过曲线上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S
1
,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S
2
,并设2S
1
一 S
2
恒为1,求此曲线y=y(x)的方程.
选项
答案
曲线y=y(x)上点P(x,y)处切线方程为 y 一y=y’(x)(X一x) 它与x轴的交点为[*] 由于y’(x>0,y(0)=1,从而y(x)>0,于是 [*] 又 S
2
=∫
0
x
y(t) dt 由条件2S
1
一S
2
=1知 [*]一
1
y(t)dt=1 (*) 两边对x求导并化简得 yy"=(y’)
2
令P=y’,则上述方程可化为 [*]=P
2
从而 [*] 解得 P=C
1
y, 即 [*]=C
1
y 于是 [*] 注意到y(0)=1,并由(*)式知y’(0)=1.从而可知C
1
=1,C
2
=0,故所求曲线的方程是y=e
x
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/yu84777K
0
考研数学二
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