2. 考研
  3. 设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一 S2恒为1，求

设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一 S2恒为1，求

admin2021-01-19  61
问题 设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一 S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．
选项
答案曲线y=y(x)上点P(x，y)处切线方程为 y 一y=y’(x)(X一x) 它与x轴的交点为[*] 由于y’(x＞0，y(0)=1，从而y(x)＞0，于是 [*] 又 S2=∫0xy(t) dt 由条件2S1一S2=1知 [*]一1y(t)dt=1 (*) 两边对x求导并化简得 yy"=(y’)2 令P=y’，则上述方程可化为 [*]=P2 从而 [*] 解得 P=C1y， 即 [*]=C1y 于是 [*] 注意到y(0)=1，并由(*)式知y’(0)=1．从而可知C1=1，C2=0，故所求曲线的方程是y=ex．
解析
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考研数学二

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