设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一 S2恒为1，求

admin2021-01-19 48

问题设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S₁，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S₂，并设2S₁一 S₂恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．

选项

答案曲线y=y(x)上点P(x，y)处切线方程为 y 一y=y’(x)(X一x) 它与x轴的交点为[*] 由于y’(x＞0，y(0)=1，从而y(x)＞0，于是 [*] 又 S₂=∫₀^xy(t) dt 由条件2S₁一S₂=1知 [*]一₁y(t)dt=1 (*) 两边对x求导并化简得 yy"=(y’)² 令P=y’，则上述方程可化为 [*]=P² 从而 [*] 解得 P=C₁y，即 [*]=C₁y 于是 [*] 注意到y(0)=1，并由(*)式知y’(0)=1．从而可知C₁=1，C₂=0，故所求曲线的方程是y=e^x．

解析

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考研数学二

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设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一 S2恒为1，求

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