2. 考研
  3. 设函数f(x)在x＝x0的某邻域U内存在连续的二阶导数． (Ⅰ)设当h＞0，(x0－h)∈U，(x0＋h)∈U，恒有 (*) 证明f＂(x0)≥0； (Ⅱ)如果f＂(x0)＞0，证明必存在h＞0，(x0－h)∈U，(x0＋h)∈U，使(*

设函数f(x)在x＝x0的某邻域U内存在连续的二阶导数． (Ⅰ)设当h＞0，(x0－h)∈U，(x0＋h)∈U，恒有 (*) 证明f＂(x0)≥0； (Ⅱ)如果f＂(x0)＞0，证明必存在h＞0，(x0－h)∈U，(x0＋h)∈U，使(*

admin2020-03-08  22
问题 设函数f(x)在x＝x0的某邻域U内存在连续的二阶导数．
(Ⅰ)设当h＞0，(x0－h)∈U，(x0＋h)∈U，恒有          (*)
证明f＂(x0)≥0；
(Ⅱ)如果f＂(x0)＞0，证明必存在h＞0，(x0－h)∈U，(x0＋h)∈U，使(*)式成立．
选项
答案(Ⅰ)由条件，当h＞0充分小，(x0±h)∈U，有 f(x0＋h)－f(x0)＋f(x0－h)－f(x0)＞0． 则由拉格朗日中值定理，有 f＇(ξ2)h＋f＇(ξ1)(－h)＞0， 其中x0－h＜ξ1)＜x0＜ξ2＜x0＋h．又因为h＞0，得 f＇(ξ2)－f＇(ξ1)＞0． 再在区间[ξ1，ξ2]上用拉格朗日中值定理，有 f＂(ξ)(ξ2－ξ1)＞0， 其中x0－h＜ξ1＜ξ＜ξ2＜x0＋h．由此推得f＂(ξ)＞0．再令h→0，得ξ→x0，并且得 f＂(x0)≥0． 证毕． (Ⅱ)由题设f＂(x)在x＝x0的邻域U内连续，且f＂(x0)＞0，故存在h＞0，使[*]且在区间[x0－h，x0＋h]内f＂(x)＞0．将f(x)按(x－x0)的幂展开的泰勒公式，有 [*] 其中ξ∈(x，x0)(或(x0，x))，x∈[x0－h，x0＋h]，x≠x0．取．x＝(x0＋h)∈U，得 f(x0＋h)＞f(x0)＋f＇(x0)h； 取x＝(x0－h)∈U，得 f(x0－h)＞f(x0)－f＇(x0)h． 从而有 f(x0＋h)＋f(x0—h)＞2f(x0)， 即[*]，故(*)式成立．证毕．
解析
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考研数学一

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