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设二次型f(x1,x2,x3)=(x1+2x2+x3)2+[一x1+(a一4)x2+2x3]2+(2x1+x2+ax3)2正定,则参数a的取值范围是 ( )
设二次型f(x1,x2,x3)=(x1+2x2+x3)2+[一x1+(a一4)x2+2x3]2+(2x1+x2+ax3)2正定,则参数a的取值范围是 ( )
admin
2020-04-22
55
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
1
+2x
2
+x
3
)
2
+[一x
1
+(a一4)x
2
+2x
3
]
2
+(2x
1
+x
2
+ax
3
)
2
正定,则参数a的取值范围是 ( )
选项
A、a=2
B、a=一7
C、a>0
D、a可任意
答案
D
解析
法一 f(x
1
,x
2
,x
3
)是平方和,故f(x
1
,x
2
,x
3
)≥0.
方程组(*)的系数行列式
故对任意的a,方程组(*)有唯一零解,即对任意x≠0.均存在f(x
1
,x
2
,x
3
)>0.f正定,故应选D.
法二 f(x
1
,x
2
,x
3
)=[x
1
+2x
2
+5x
3
,x
1
+(a一4)x2+2x
3
,
=x
T
B
T
Bx=x
T
Ax,其中A=B
T
B
其中a任意数.故对任意a,B可逆.A=B
T
B正定,故
,f(x
1
,x
2
,x
3
)是正定二次型,应选D.
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考研数学一
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