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设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是
设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是
admin
2021-01-19
80
问题
设λ
1
，λ
2
是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α
1
，α
2
，则α
1
，A(α
1
+α
2
)线性无关的充分必要条件是
选项
A、λ
1
≠0
B、λ
2
≠0
C、λ
1
=0
D、λ
2
=0
答案
B
解析
由λ
1
≠λ
2
及特征值的性质知α
1
，α
2
线性无关．显然，向量组{α
1
，A(α
1
+α
2
)}={α
1
，λ
1
α
1
+λ
2
α
2
}等价于向量组{α
1
，α
2
，α
3
}．当λ
2
≠0时，它线性无关，当λ
2
=0时，它线性相关，故α
1
，A(α
1
+α
2
)线性无关
λ
2
≠0．
由条件知α
1
，α
2
线性无关，而
[α
1
，A(α
1
+α
2
)]=[α
1
，λ
1
α
1
+λ
2
α
2
]=[α
1
，α
2
]
由于用列满秩矩阵左乘矩阵不改变矩阵的秩，得
α
1
，A(α
1
+α
2
)线性无关
=λ
2
≠0．
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0
考研数学二
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