设，n＝0，1，2，…．则下列关于an的关系式成立的是 ( )

admin2018-12-21 28

问题设

，n＝0，1，2，…．则下列关于a_n的关系式成立的是 ( )

选项 A、a_n﹢2＝a_n﹢1﹢a_n．
B、a_n﹢3＝a_n．
C、a_n﹢4＝a_n﹢2﹢a_n．
D、a_n﹢6＝a_n．

答案D

解析由f(x)＝

，得f(0)＝1，再由
f(x)(x²－x﹢1)＝x﹢1， (*)
两边对x求一阶导数，得f^’(x)(x²－x﹢1)﹢f(x)(2x－1)＝1．
将x＝0代入，得 f^’(0)－f(0)＝1，f^’(0)＝f(0)﹢1＝2．
将(*)式两边对．x求n阶导数，n≥2，有f⁽ⁿ⁾(x)(x²－x﹢1)﹢C¹_nf^n－1(x)(2x－1)﹢C²_n(x)·2＝0，
将x＝0代入，得f⁽ⁿ⁾(0)－C¹_nf^n－1(0)﹢2C²_nf^n－2(0)＝0，
即 fⁿ(0)＝nf^n－1(0)－n(n－1)f^(n－2)(0)，n＝2，3，…．

或写成a_n﹢2＝a_n﹢1－a_n，n＝0，1，2，…． (**)
现在验算(A)～(D)中哪一个正确．
显然，由递推公式(**)知，(A)的左边a_n﹢2＝a_n﹢1－a_n，仅当a_n＝0时才有(A)的左边等于(A)的右边，故(A)不正确．
再验算(B)．(B)的左边a_n﹢3＝a_n﹢2－a_n﹢1＝a_n﹢1－a_n－a_n﹢1＝－a_n，
所以仅当a_n＝0时，(B)的左边等于(B)的右边，故(B)不正确．
再验算(C)．(C)的左边a_n﹢4＝a_n﹢3－a_n﹢2＝a_n﹢2－a_n﹢1－a_n﹢2＝－a_n﹢1．
(C)的右边a_n﹢2﹢a_n＝a_n﹢1－a_n﹢a_n＝a_n﹢1．
(C)的左边等于(C)的右边，得a_n﹢1＝0，n＝0，1，2…．但这不正确．所以(C)也不正确．
余下只有(D)．
以下可直接验算(D)正确．由已证(**)式，所以对一切n，有a_n﹢6＝a_n﹢5－a_n﹢4＝a_n﹢4－a_n﹢3－a_n﹢4＝－a_n﹢3，
从而 a_n﹢6＝－a_n﹢3＝－(a_n)＝a_n，n＝0，1，2，…．
所以(D)正确．

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