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设,n=0,1,2,….则下列关于an的关系式成立的是 ( )
设,n=0,1,2,….则下列关于an的关系式成立的是 ( )
admin
2018-12-21
40
问题
设
,n=0,1,2,….则下列关于a
n
的关系式成立的是 ( )
选项
A、a
n﹢2
=a
n﹢1
﹢a
n
.
B、a
n﹢3
=a
n
.
C、a
n﹢4
=a
n﹢2
﹢a
n
.
D、a
n﹢6
=a
n
.
答案
D
解析
由f(x)=
,得f(0)=1,再由
f(x)(x
2
-x﹢1)=x﹢1, (*)
两边对x求一阶导数,得f
’
(x)(x
2
-x﹢1)﹢f(x)(2x-1)=1.
将x=0代入,得 f
’
(0)-f(0)=1,f
’
(0)=f(0)﹢1=2.
将(*)式两边对.x求n阶导数,n≥2,有f
(n)
(x)(x
2
-x﹢1)﹢C
1
n
f
n-1
(x)(2x-1)﹢C
2
n
(x)·2=0,
将x=0代入,得f
(n)
(0)-C
1
n
f
n-1
(0)﹢2C
2
n
f
n-2
(0)=0,
即 f
n
(0)=nf
n-1
(0)-n(n-1)f
(n-2)
(0),n=2,3,….
或写成a
n﹢2
=a
n﹢1
-a
n
,n=0,1,2,…. (**)
现在验算(A)~(D)中哪一个正确.
显然,由递推公式(**)知,(A)的左边a
n﹢2
=a
n﹢1
-a
n
,仅当a
n
=0时才有(A)的左边等于(A)的右边,故(A)不正确.
再验算(B).(B)的左边a
n﹢3
=a
n﹢2
-a
n﹢1
=a
n﹢1
-a
n
-a
n﹢1
=-a
n
,
所以仅当a
n
=0时,(B)的左边等于(B)的右边,故(B)不正确.
再验算(C).(C)的左边a
n﹢4
=a
n﹢3
-a
n﹢2
=a
n﹢2
-a
n﹢1
-a
n﹢2
=-a
n﹢1
.
(C)的右边a
n﹢2
﹢a
n
=a
n﹢1
-a
n
﹢a
n
=a
n﹢1
.
(C)的左边等于(C)的右边,得a
n﹢1
=0,n=0,1,2….但这不正确.所以(C)也不正确.
余下只有(D).
以下可直接验算(D)正确.由已证(**)式,所以对一切n,有a
n﹢6
=a
n﹢5
-a
n﹢4
=a
n﹢4
-a
n﹢3
-a
n﹢4
=-a
n﹢3
,
从而 a
n﹢6
=-a
n﹢3
=-(a
n
)=a
n
,n=0,1,2,….
所以(D)正确.
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考研数学二
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