2. 考研
  3. 设，n＝0，1，2，…．则下列关于an的关系式成立的是 ( )

设，n＝0，1，2，…．则下列关于an的关系式成立的是 ( )

admin2018-12-21  43
问题 设，n＝0，1，2，…．则下列关于an的关系式成立的是    (    )
选项 A、an﹢2＝an﹢1﹢an．
B、an﹢3＝an．
C、an﹢4＝an﹢2﹢an．
D、an﹢6＝an．
答案D
解析 由f(x)＝，得f(0)＝1，再由
f(x)(x2－x﹢1)＝x﹢1，    (*)
两边对x求一阶导数，得f’(x)(x2－x﹢1)﹢f(x)(2x－1)＝1．
将x＝0代入，得 f’(0)－f(0)＝1，f’(0)＝f(0)﹢1＝2．
将(*)式两边对．x求n阶导数，n≥2，有f(n)(x)(x2－x﹢1)﹢C1nfn－1(x)(2x－1)﹢C2n(x)·2＝0，
将x＝0代入，得f(n)(0)－C1nfn－1(0)﹢2C2nfn－2(0)＝0，
即    fn(0)＝nfn－1(0)－n(n－1)f(n－2)(0)，n＝2，3，…．

或写成an﹢2＝an﹢1－an，n＝0，1，2，…．    (**)
现在验算(A)～(D)中哪一个正确．
显然，由递推公式(**)知，(A)的左边an﹢2＝an﹢1－an，仅当an＝0时才有(A)的左边等于(A)的右边，故(A)不正确．
再验算(B)．(B)的左边an﹢3＝an﹢2－an﹢1＝an﹢1－an－an﹢1＝－an，
所以仅当an＝0时，(B)的左边等于(B)的右边，故(B)不正确．
再验算(C)．(C)的左边an﹢4＝an﹢3－an﹢2＝an﹢2－an﹢1－an﹢2＝－an﹢1．
(C)的右边an﹢2﹢an＝an﹢1－an﹢an＝an﹢1．
(C)的左边等于(C)的右边，得an﹢1＝0，n＝0，1，2…．但这不正确．所以(C)也不正确．
余下只有(D)．
以下可直接验算(D)正确．由已证(**)式，所以对一切n，有an﹢6＝an﹢5－an﹢4＝an﹢4－an﹢3－an﹢4＝－an﹢3，
从而 an﹢6＝－an﹢3＝－(an)＝an，n＝0，1，2，…．
所以(D)正确．
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考研数学二

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