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下列三个命题 ① 设anxn的收敛域为(一R,R),则的收敛域为(一R,R); ② 设幂级数anxn在x=一1条件收敛,则它的收敛半径R=1; ③ 设幂级数anxn,bnxn的收敛半径分别为R1,R2,则(an+bn)xn的收敛半径R=min(R1,
下列三个命题 ① 设anxn的收敛域为(一R,R),则的收敛域为(一R,R); ② 设幂级数anxn在x=一1条件收敛,则它的收敛半径R=1; ③ 设幂级数anxn,bnxn的收敛半径分别为R1,R2,则(an+bn)xn的收敛半径R=min(R1,
admin
2022-10-13
28
问题
下列三个命题
① 设
a
n
x
n
的收敛域为(一R,R),则
的收敛域为(一R,R);
② 设幂级数
a
n
x
n
在x=一1条件收敛,则它的收敛半径R=1;
③ 设幂级数
a
n
x
n
,
b
n
x
n
的收敛半径分别为R
1
,R
2
,则
(a
n
+b
n
)x
n
的收敛半径R=min(R
1
,R
2
)中正确的个数是[img][/img]
选项
A、0个.
B、1个.
C、2个.
D、3个.
答案
B
解析
此类选择题必须逐一判断.
关于命题①:对幂级数
a
n
x
n
逐项积分保持收敛区间不变,但收敛域可能起变化.如
x
n
的收敛域为(一1,1),但
的收敛域是[一1,1).
关于命题②:若熟悉幂级数的收敛性特点立即可知该命题正确.
记该幂级数的收敛半径为R.若R>1,由于
a
n
x
n
绝对收敛=>
a
n
(一1)
n
绝对收敛,与已知矛盾.若R<1,由
a
n
x
n
发散=>
a
n
(一1)
n
发散,也与已知矛盾.因此,R=1.
关于命题③:当R
1
≠R
2
时,R=min(R
1
,R
2
),于是要考察R
1
=R
2
的情形.
设有级数
,易求得它们的收敛半径均为R
1
=R
2
=1但
的收敛半径为R=2.因此命题不正确.
综上所述.选项B正确.[img][/img]
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/z9e4777K
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考研数学一
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