[2003年] 某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，k＞0)，汽锤第一次击打将桩打进地下a(m)(m表示米)．根据设计方案，要求汽锤每次击打

admin2019-04-08 70

问题 [2003年] 某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，k＞0)，汽锤第一次击打将桩打进地下a(m)(m表示米)．根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数r(0＜r＜1)，问：
若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?

选项

答案由归纳法求解．设x_n=[*]，则 W_n+1=∫_{x_n}^x_n+1kxdx=[*] 由于W_n+1=rW_n=r²W_n-1=…=rⁿW₁，故得 x_n+1²一(1+r+…+r^n-1)a²=rⁿa²，从而[*] 于是[*](因0＜r＜1)，即若不限击打次数，汽锤至多能将桩打进地下[*]

解析

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考研数学一

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